【大高考】2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理函数的综合应用1
(2012·全国，12)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A
1－ln2B
(1－ln2)C
1＋ln2D
(1＋ln2)解析由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex最小距离的2倍，设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与y＝x平行，有ex0＝1，x0＝ln2，y0＝1，∴切点到直线y＝x的距离d＝，所以|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)
(2013·全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)
若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2
(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围
解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)
由题设可得F(0)≥0，即k≥1
令F′(x)＝0，得x1＝－lnk，x2＝－2
(ⅰ)若1≤k0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增
而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立
(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)
