【大高考】2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理函数的综合应用1.(2012·全国，12)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A.1－ln2B.(1－ln2)C.1＋ln2D.(1＋ln2)解析由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex最小距离的2倍，设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与y＝x平行，有ex0＝1，x0＝ln2，y0＝1，∴切点到直线y＝x的距离d＝，所以|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2).答案B2.(2013·全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d).若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1).设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－lnk，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增.故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2).从而当x>－2时，F′(x)>0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增.而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围是[1，e2].函数的实际应用1.(2016·四川，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝≈3.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年.选B.答案B2.(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10km，消耗1升汽油.故D正确.答案D3.(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.－1解析设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.答案D4.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A.[15，20]B.[12，25]C.[10，30]D.[20，30]解析设矩形另一边长为y，＝，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C.答案C5.(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.解析由题意∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝·eb＝×192＝24.答案246.(2015·江苏，17)某山区外围有两条...
