课时作业17从力做的功到向量的数量积|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．3解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.答案：C2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：C3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是()A．2B．4C．6D．12解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|2－2|a|－24＝0.解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．答案：C4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC＝()A．－16B．－8C．8D．16解析：设∠CAB＝θ，∴|AB|＝，AB·AC＝|AB|·|AC|·cosθ＝·4cosθ＝16.答案：D5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2B.C.D.解析：设|BD|＝x，则|BC|＝x，AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD＝|BC|·|AD|cos∠ADB＝x·1·＝.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________.解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos120°＝－3＋3×＝－.答案：－7．已知|a|＝5，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的射影的数量等于________．解析：|b|cos〈a，b〉＝8cos60°＝4，所以b在a方向上的射影的数量等于4.答案：48．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|DC＋BC|＝________.解析：∵四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，∴∠DCB＝60°，∴|DC＋BC|2＝|DC|2＋|BC|2＋2DC·BC＝12＋12＋2×1×1cos∠DCB＝3，∴|DC＋BC|＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.解析：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82＝256.∴|4a－2b|＝16.10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，∴cosθ＝－，∴θ＝.(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.|能力提升|(20分钟，40分)11．(2015·高考四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6解析：如图所示，由题设知：AM＝AB＋BM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，所以AM·NM＝·＝|AB|2－|AD|2＋AB·AD－AB·AD＝×36－×16＝9.答案：C12．已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则AO·AM＝________.解析：∵M是BC的中点，∴AM＝(AB＋AC)，又O是△ABC的外接圆圆心，∴AB·AO＝|AB||AO|cos∠BAO＝|AB|2＝8，同理可得AC·AO＝|AC|2＝2，∴AM·AO＝(AB＋AC)·AO＝AB·AO＋AC·AO＝4＋1＝5.答案：513．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．解析：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴|a|2－|b|2＝.∵|a|＝1，∴|b|＝＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.即a，b的夹角为45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，∴|a－b|＝.∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，∴|a＋b|＝.设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝＝＝.即所求余弦值为.14．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值．解析：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD·DC＝0，由CP＝2PD，得DP＝DC，CP＝CD＝－DC.所以AP·BP＝(AD＋DP)·(BC＋CP)＝·＝AD2－AD·DC－DC2＝36－×81＝18.(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AB·AD－AB2＝36－AB·AD－18＝18－AB·AD.又AP·BP＝6，所以18－AB·AD＝6，所以AB·AD＝36，又AB·AD＝|AB|·|AD|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝.所以AB与AD夹角的余弦值为.
