习题课（二）解析几何初步1．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于()A．2B．3C．9D．－9解析：选D由kAB＝kAC，得b＝－9.2．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为()A．－4B．20C．0D．24解析：选A垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故2a－20＝0，∴a＝10，l1：10x＋4y－2＝0.将(1，c)代入，得c＝－2，将(1，－2)代入l2：2x－5y＋b＝0，得b＝－12.则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.3．过点M(2,1)的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，且|MP|＝|MQ|，则l的方程是()A．x－2y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x＋y－5＝0D．x＋2y－4＝0解析：选D由题意可知，M为线段PQ的中点，Q(0,2)，P(4,0)，可求得直线l的方程x＋2y－4＝0.4．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于()A．8B．12C．16D．19解析：选A A1(－4，－2,3)，A2(4,2,3)，∴|AA2|＝＝8.5．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：选B由圆心在直线x＋y＝0上，不妨设为C(a，－a)，∴r＝＝，解得a＝1，r＝，∴圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.6．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[，3]D．[2，3]解析：选A设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．7．若平行直线2x＋3y－6＝0和4x＋6y＋a＝0之间的距离等于，则a的值是________．解析：由题意d＝＝.∴＝，解之得a＝－7或a＝－17.答案：－7或－178．直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a＜3)相交于两点A，B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为________．解析：圆心为(－1,2)，弦中点与圆心连线的斜率为＝－1，由圆的性质知，弦AB所在直线即l的斜率为k＝1.故l的方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝09．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为________．解析：因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.答案：－110．已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)试判断l1与l2是否平行．解：法一：(斜截式方程)(1)由直线l1的方程知其斜率为－，当a＝1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；当a≠1时，直线l2的斜率为－.由－·＝－1⇒a＝.故所求实数a的值为.(2)由(1)知，当a＝1时，l1，l2相交，当a≠1时，直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为－.由l1∥l2可得－＝－，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，l1的方程为x＋y＋3＝0，l2的方程为x＋y＋3＝0，显然l1与l2重合．当a＝－1时，l1的方程为x－2y－6＝0，l2的方程为x－2y＝0，显然l1与l2平行．所以，当a＝－1时，l1∥l2；当a≠－1时，l1与l2不平行．法二：(一般式方程)(1)由已知条件得a·1＋2·(a－1)＝0⇒a＝，故所求实数a的值为.(2)由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1的方程为x－2y－6＝0，l2的方程为x－2y＝0，显然两直线平行．当a＝2时，l1的方程为x＋y＋3＝0，l2的方程为x＋y＋3＝0，显然两直线重合．所以，当a＝－1时，l1∥l2；当a≠－1时，l1与l2不平行．11．已知点P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求：(1)的最大值和最小值；(2)x2＋y2的最大值和最小值．解：将x2＋y2－6x－4y＋12＝0配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示以C(3,2)为圆心，半径r＝1的圆．(1)设＝k，得y＝kx，所以k表示过原点的直线的斜率，当直线y＝kx为圆C...
