课下能力提升(十七)平面向量基本定理一、选择题1．已知e1，e2是不共线向量，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ等于()A．－1B．0C．－D．－22．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A、B、C三点共线，则λ，μ满足的条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝13．在△ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，若，则λ＋μ的值为()A.B.C．－D．－4．设起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点分别为A，B，C，则()A．A，B，C是一个三角形的三个顶点B．A，B，C三点共线二、填空题5．如图，每个小正方形方格的长度为单位1，以向量e1，e2作为基底，则a－b＝________．6．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为表示平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．7.如图，在△ABC中，D为AB上一点，若＋，则λ＝________.8．△ABC中，，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若＝(x，y∈R)，则x＋y＝________三、解答题9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．10．在平面上给定一个△ABC，试推断平面上是否存在这样的点P，使线段AP的中点为M，BM的中点为N，CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个；若不存在，说明理由．答案1．解析：选D当a∥b时，a＝tb(t∈R)，则2e1＋e2＝t(λe1－e2)，即(2－tλ)e1＋(1＋t)e2＝0.∵e1，e2不共线，∴得λ＝－2.2．3．4．5．解析：a－b＝＝2e2－e1.答案：2e2－e16．解析：若a∥b，则λ＝4，故a，b能作为基底的条件为λ≠4.答案：{λ|λ∈R且λ≠4}7.∴λ＝.答案：8．解析：如图，∵DE∥BC，∴得x＋y＝.答案：9．解：(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴⇒∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴⇒故所求λ、μ的值分别为3和1.10．解：假设存在符合要求的点P，如图所示，∵M是AP的中点，∵N是BM的中点，由平行四边形法则，
