2.1圆的标准方程A组1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π解析:由方程知圆的半径r=,于是周长C=2π·=2π.答案:B2.导学号62180117圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:设圆心的坐标为(0,m),则有=1,解得m=2,所以圆的方程是x2+(y-2)2=1.答案:A3.方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆解析:由y=-两边平方可得y2=12-x2,即x2+y2=12,又因为y≤0,所以该方程表示圆x2+y2=12的下半部分.答案:D4.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是()A.6B.4C.5D.1解析:圆的半径r=1,圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d==5,故所求的最小值为d-r=4.答案:B5.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析:(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:A6.圆心在C(-1,2),且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是.解析:因为直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径r=,又圆心为C(-1,2),故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案:(x+1)2+(y-2)2=57.已知圆C1的方程(x+3)2+(y-2)2=5,圆C2与圆C1是同心圆,且与x轴相切,则圆C2的标准方程为.解析:由圆C1的方程知圆心C1(-3,2).因为圆C2与圆C1是同心圆,所以圆C2的圆心也为(-3,2).又圆C2与x轴相切,则半径为2,所以(x+3)2+(y-2)2=4.答案:(x+3)2+(y-2)2=48.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.解析:根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=19.导学号62180118已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且经过点A(6,1),求圆C的方程.解:设圆心坐标为(3a,a),因为圆心在直线x-3y=0上,又圆C与y轴相切,所以半径r=|3a|,圆的标准方程为(x-3a)2+(y-a)2=|3a|2.又过点A(6,1),所以(6-3a)2+(1-a)2=9a2,即a2-38a+37=0,解得a=1或a=37.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112.10.已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),判断这四个点能否在同一个圆上,为什么?解:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).代入三点的坐标得解方程组,得所以经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.将点D的坐标代入圆的标准方程,左边=右边,所以点D在圆上,故A,B,C,D四点能在同一个圆上.B组1.导学号62180119直线x+2y+3=0将圆(x-a)2+(y+5)2=3的周长平分,则a等于()A.13B.7C.-13D.以上答案都不对解析:当直线过圆心时直线才将圆的周长平分,所以将圆心(a,-5)代入直线方程x+2y+3=0,得a+2×(-5)+3=0,解得a=7.答案:B2.方程|x|-1=表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆解析:由题意得即或故原方程表示两个半圆.答案:D3.设实数x,y满足(x+3)2+y2=6,那么的最大值是()A.B.C.D.解析:令=k,即y=kx,直线y=kx与圆相切时恰好k取最值,如图所示,易得k=tanα=.答案:C4.如图所示,ACB为一弓形,且点A,B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓形所在圆的方程为()A.x2+y2=16B.x2+y2=4C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+3)2=25解析:∵圆心在弦AB的中垂线上,∴圆心在y轴上,可设P(0,b).∵|AP|=|CP|,∴=|2-b|,解得b=-3.∴圆心P(0,-3),半径r=|CP|=5.∴圆的标准方程为x2+(y+3)2=25.答案:D5.设圆C:(x-a)2+(y-1)2=1(a为常数)被y轴截得的弦为线段AB,若弦AB所对的圆心角为,则实数a=.答案:±6.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,如图所示,则△ABC面积的最小值为.解析:∵|AB|=2为定长,∴当△ABC的高即点C到AB的距离最小时,S△ABC最小,又圆心为(2,2),半径为1.所以此时点C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.答案:17.导学号62180120一束光线从点A(-1,1)发出,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,最短路程为.解析:设光线与x轴交于B(x,0),依题意得kBC+kBA=0,即=0.解得x=-,于是最短路程为d=|AB|+|BC|-1=-1=4.答案:48.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).(1)求此圆的标准方程;(2)设点P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.解:(1)由题意,结合图①可知圆心C(3,0),r=2,所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.(2)如图②所示,过点C作CD垂直于直线x-y+1=0,垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|==2,又P(x,y)是圆C上的任意一点,而圆C的半径为2.结合图形易知,点P到直线x-y+1=0的距离的最大值为2+2.
