备战数学应考能力大提升典型例题例1已知一四棱锥的三视图如下，是侧棱上的动点。（1）求四棱锥的体积；（2）是否不论点在何位置，都有？证明你的结论;（3）若点为的中点，求二面角的大小．解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.---------------------------------2分∴----------------------------4分(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------5分证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC-----------7分又∵∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置，都有AE平面PACzyxEDCBAP∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE-------------9分(3)解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG∵CD=CB,EC=EC,∴≌∴ED=EB,∵AD=AB∴△EDA≌△EBA∴BG⊥EA∴为二面角D－EA－B的平面角--------------------------12分∵BC⊥DE,AD∥BC∴AD⊥DE在Rｔ△ADE中==BG在△DGB中，由余弦定理得∴=-----------------------14分[解法２：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则,从而--------------11分设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得：，令，则，∴------13分设二面角D－AE－B的平面角为，则∴例2如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为创新题型1．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。参考答案1.【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法１：（１）故。所以。又.ACD1A1B1D故在△，即.故当时，直线。（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.
