D7_2可分离变量微分方程VIP免费

目录上页下页返回结束转化可分离变量微分方程第二节解分离变量方程xxfyygd)(d)(可分离变量方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22第七章目录上页下页返回结束分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设y＝(x)是方程①的解,xxfxxxgd)(d)())((两边积分,得xxfd)(①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)≠0时,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由②确定目录上页下页返回结束例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1eCC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)目录上页下页返回结束例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y目录上页下页返回结束例3.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:目录上页下页返回结束练习:解法1分离变量Cxyee即01e)e(yxC(C<0)解法2,yxu令故有uue1积分Cxuu)e1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1(积分目录上页下页返回结束例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO目录上页下页返回结束例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)e1(tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kgmvt足够大时目录上页下页返回结束m1例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变r解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即thgSkVd2d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到),0d(dhhhhhdhhO目录上页下页返回结束对应下降体积hrVdd222)1(1hr22hh2d(2)dπVhhh因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:3122d(2)d2πthhhkSgm1rhhdhhO目录上页下页返回结束两端积分,得2πtkSg2334(h)5225Ch利用初始条件,得,1514C则得容10th器内水面高度h与时间t的关系:(s))737101(10068.125234hht可见水流完所需时间为(s)10068.14tm1rhhdhhO因此352214103(1)77152πthhkSg代入上式，以224sm8.9,m10,62.0gSk目录上页下页返回结束内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C目录上页下页返回结束(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P298题5(2))2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤例4例5例6目录上页下页返回结束思考与练习求下列方程的通解:提示:xxxyyyd1d122(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln目录上页下页返回结束作业P3041(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三节