【成才之路】-学年高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定强化练习新人教A版必修2一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个[答案]C[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是()A．1B．2C．3D．6[答案]B[解析]仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．3．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°[答案]B[解析]根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.4．(～·江西新余一中高一月考)给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C.5．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直[答案]C[解析]因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．6．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[答案]D[解析]设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形． PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.二、填空题7．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________．[答案]垂直[解析]取AC中点E，连BE、DE.由AB＝BC得AC⊥BE.同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED.因此，AC⊥BD.8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．[答案]菱形[解析]由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．9．(·山东)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．[答案][分析]作出PA与平面ABC所成的角，再求解即可．[解析]设三棱柱的高为h，则×()2×h＝，解得h＝.设三棱柱中底面ABC的中心为Q，则PQ＝，AQ＝××＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝，所以∠PAQ＝.三、解答题10．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.[分析]只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.[证明] PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又 AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又 AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.又 PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.[点评]利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．11．S为直角△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.D为斜边AC的中点，(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](...
