高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行基础达标 北师大版选修2-1VIP专享VIP免费

【成才之路】-学年高中数学2.4用向量讨论垂直与平行基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．若平面α，β的一个法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()A．B．－C．10D．－10[答案]D[解析] α⊥β，∴它们的法向量也互相垂直，∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10，故选D.2．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,4)，且l1⊥l2，则x＋y＝()A．－1B．1C．0D．无法确定[答案]A[解析] l1⊥l2，∴a⊥b，a·b＝0，∴4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1.3．若直线l的方向向量为a＝(1,1,1)，向量b＝(1，－1,0)和向量c＝(0,1，－1)所在的直线都与平面α平行，则()A．l⊥αB．l∥αC．lαD．以上都不对[答案]A[解析] (1,1,1)·(1，－1,0)＝0，(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，∴a⊥b，a⊥c，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行，∴l⊥α.二、填空题4．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则实数x＝________，y＝________，z＝________.[答案]－64－26－17[解析]因为a，b，c两两垂直，所以a·b＝b·c＝c·a＝0，即，解得.5．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为__________________．[答案](－，，1)[解析]设M(x，y，z)，又AB＝(－1,1,0)，AM＝(x，y，z－1)，CM＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意得∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为(－，，1)．三、解答题6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD.[证明]如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意，得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)． 底面ABCD是正方形，∴G是正方形ABCD的中心．故点G的坐标为(，，0)，且PA＝(a,0，－a)，EG＝(，0，－)．∴PA＝2EG.这表明PA∥EG.而EG平面EDB，且PA⃘平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)依题意，得B(a，a,0)，∴PB＝(a，a，－a)．又DE＝(0，，)，故PB·DE＝0＋－＝0.∴PB⊥DE.又EF⊥PB，且EF∩DE＝E.∴PB⊥平面EFD.一、选择题1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的一个法向量为n＝(－2,0,4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l与α斜交[答案]B[解析] a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，∴l⊥α.故选B.2.如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的是()A．BAB．BDC．BCD．BE[答案]B[解析]方法一：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出AC，AD，CD中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得．方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直．设AD＝1，则BD＝CD＝1.因为△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，所以AB＝AC＝.又因为∠BAC＝60°，所以BC＝.所以△BCD也是直角三角形，且BD⊥CD，从而可得BD⊥平面ACD.3．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝，y＝1B．x＝，y＝－4C．x＝2，y＝－D．x＝1，y＝－1[答案]B[解析]a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)， (a＋2b)∥(2a－b)，∴，∴4．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直D．l1，l2的关系不能确定[答案]B[解析]a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b.∴l1⊥l2.5．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．(，，－)B．(，－，)C．(－，，)D．(－，－，－)[答案]D[解析]AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)，BC＝(0，－1,1)．设平面ABC的一个单位法向量为u＝(x，y，z)，则u·AB＝0，u·AC＝0，得x，y，z之间的关系，且x2＋y2＋z2＝1，求值即可．二、填空题6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．[答案]①②③[解析]AB·AP＝2×(－1)＋...