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高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行基础达标 北师大版选修2-1VIP免费

高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行基础达标 北师大版选修2-1_第1页
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【成才之路】-学年高中数学2.4用向量讨论垂直与平行基础达标北师大版选修2-1一、选择题1.若平面α,β的一个法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为()A.B.-C.10D.-10[答案]D[解析] α⊥β,∴它们的法向量也互相垂直,∴(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10,故选D.2.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量为b=(2,y,4),且l1⊥l2,则x+y=()A.-1B.1C.0D.无法确定[答案]A[解析] l1⊥l2,∴a⊥b,a·b=0,∴4+4y+4x=0,即x+y=-1.3.若直线l的方向向量为a=(1,1,1),向量b=(1,-1,0)和向量c=(0,1,-1)所在的直线都与平面α平行,则()A.l⊥αB.l∥αC.lαD.以上都不对[答案]A[解析] (1,1,1)·(1,-1,0)=0,(1,1,1)·(0,1,-1)=0,∴a⊥b,a⊥c,又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行,∴l⊥α.二、填空题4.已知a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c两两垂直,则实数x=________,y=________,z=________.[答案]-64-26-17[解析]因为a,b,c两两垂直,所以a·b=b·c=c·a=0,即,解得.5.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为__________________.[答案](-,,1)[解析]设M(x,y,z),又AB=(-1,1,0),AM=(x,y,z-1),CM=(x-1,y-2,z+3),由题意得∴x=-,y=,z=1,∴点M的坐标为(-,,1).三、解答题6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD.[证明]如图所示,建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设DC=a.(1)连接AC,AC交BD于G,连接EG.依题意,得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,). 底面ABCD是正方形,∴G是正方形ABCD的中心.故点G的坐标为(,,0),且PA=(a,0,-a),EG=(,0,-).∴PA=2EG.这表明PA∥EG.而EG平面EDB,且PA⃘平面EDB,∴PA∥平面EDB.(2)依题意,得B(a,a,0),∴PB=(a,a,-a).又DE=(0,,),故PB·DE=0+-=0.∴PB⊥DE.又EF⊥PB,且EF∩DE=E.∴PB⊥平面EFD.一、选择题1.若直线l的方向向量为a=(-1,0,2),平面α的一个法向量为n=(-2,0,4),则()A.l∥αB.l⊥αC.lαD.l与α斜交[答案]B[解析] a=(-1,0,2),n=(-2,0,4),n=2a,∴n∥a,∴l⊥α.故选B.2.如图,已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°,E为AC的中点,那么以下向量为平面ACD的法向量的是()A.BAB.BDC.BCD.BE[答案]B[解析]方法一:判断平面ACD的法向量,可以从平面ACD中找出AC,AD,CD中的两个向量,分别与选项中的向量求数量积,判断垂直而得.方法二:直接利用已知边角关系判断线面垂直.设AD=1,则BD=CD=1.因为△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,所以AB=AC=.又因为∠BAC=60°,所以BC=.所以△BCD也是直角三角形,且BD⊥CD,从而可得BD⊥平面ACD.3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则()A.x=,y=1B.x=,y=-4C.x=2,y=-D.x=1,y=-1[答案]B[解析]a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2), (a+2b)∥(2a-b),∴,∴4.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则()A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直D.l1,l2的关系不能确定[答案]B[解析]a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,∴a⊥b.∴l1⊥l2.5.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.(,,-)B.(,-,)C.(-,,)D.(-,-,-)[答案]D[解析]AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),BC=(0,-1,1).设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),则u·AB=0,u·AC=0,得x,y,z之间的关系,且x2+y2+z2=1,求值即可.二、填空题6.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面ABCD的法向量;④AP∥BD.其中正确的是________.[答案]①②③[解析]AB·AP=2×(-1)+...

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