【成才之路】-学年高中数学3.1第1课时归纳推理同步检测北师大版选修1-2一、选择题1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是()A．10B．13C．14D．100[答案]C[解析] ＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为()□●▲▲■○●△A.■B．△C．□D．○[答案]A[解析]图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2[答案]C[解析]归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于()A.B．C.D．[答案]B[解析]由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，故应选B.5．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案]A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在第1,2,3,4号座位上(如图所示)，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2013次互换座位后，小兔坐在第()号座位上．()开始第1次第2次第3次A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]由题意得第4次互换座位后，四个小动物回到了原位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原位，所以第2013次互换座位后的结果与第1次互换座位后的结果相同，小兔坐在第1号座位上．故选A.二、填空题7．考查下列式子：1＝12；2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，得出的结论是________．[答案]n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]从数值特征看，等式左边首数为n时，共有连续2n－1个数，右边为(2n－1)2.8．经计算发现下列正确不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b成立的条件不等式：________.[答案]当a＋b＝20时，有＋≤2(a>0，b>0)[解析]各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20.三、解答题9．已知Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，并由此归纳出Sn的表达式．[分析]在Sn中分别令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再进行归纳推测．[解析]S1＝＝；S2＝＋＝＋＝＝；S3＝＋＋＝＋＝＝；S4＝＋＋＋＝＋＝＝；由此猜想：Sn＝(n∈N＋)．[点评]本题利用归纳猜想的思想求得了Sn的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中Sn的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[答案](1)(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝证明略[解析]解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.解法二：(1)同解法一...
