【成才之路】-学年高中数学3.1同角三角函数的基本关系基础巩固北师大版必修4一、选择题1．已知tanx>0且sinx＋cosx>0，那么x位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]A[解析]∵tanx>0，∴>0，∴sinx，cosx同号，又∵sinx＋cosx>0，∴sinx>0，cosx>0，∴x位于第一象限．2．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是()A．B．C．1D．[答案]C[解析]原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1.3．已知<α<π，sinα＝，则tanα的值为()A．B．－C．±D．－[答案]B[解析]∵<α<π，∴cosα<0，∴cosα＝－＝－＝－.∴tanα＝＝－.4．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于()A．2B．－2C．2或－2D．0[答案]D[解析]∵α的终边在直线y＝－x上，∴tanα＝－1，∴原式＝＋，(1)当α在第二象限时，原式＝－tanα＋tanα＝0；(2)当α在第四象限时，原式＝tanα－tanα＝0.5．若sin2α＋sinα＝1，则cos4α＋cos2α的值为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]∵sin2α＋sinα＝1，∴sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴cos4α＋cos2α＝sin2α＋sinα＝1.6．已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为()A．B．－C．D．－[答案]B[解析]∵<α<，∴cosα0，所以选项C不正确．二、填空题3．化简＝________.[答案][解析]原式＝＝＝.4．若α是锐角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα＝________.[答案][解析]由2tanα＋3sinβ＝7，得4tanα＋6sinβ＝14①，又tanα－6sinβ＝1②，①＋②，得5tanα＝15，∴tanα＝3，又由1＋tan2α＝，有cos2α＝＝＝，∴sin2α＝1－cos2α＝，∵0<α<，∴sinα＝.三、解答题5．已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．[解析]∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，又tanα＝－2得sinα＝－2cosα.(1)当α为第二象限角时，⇒5cos2α＝1，∴cosα＝－，sinα＝－2×(－)＝.(2)当α为第四象限角时，⇒5cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝－2×＝－.综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，cosα＝－，sinα＝，当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－.6．已知<α<，cos(α＋)＝m(m≠0)，求tan(－α)的值．[解析]由于(α＋)＋(－α)＝π，所以cos(－α)＝－cos(α＋)＝－m.由于<α<，所以0<－α<.则sin(－α)＝.所以tan(－α)＝－.7．是否存在实数k，使方程8x2－6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是直角三角形中的两个锐角的正弦值？[解析]设两个锐角为α，β.∵α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα，∴由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，得＝1＋2×，解得k＝2或k＝－.当k＝2时，Δ<0，不符合题意，∴k＝2舍去．由sinα＋cosα>0，得k>0，∴k＝－舍去．因此符合题意的k值不存在．
