【成才之路】-学年高中数学3.2第1课时几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式练习新人教A版选修1-1一、选择题1．设y＝e3，则y′等于()A．3e2B．e2C．0D．以上都不是[答案]C[解析]∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定[答案]B[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．3．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是()A．1B．0C．2D．[答案]D[解析]∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.4．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为()A．4B．－4C．1D．－1[答案]B[解析]y′＝(xα)′＝αxα－1，由条件知，y′|x＝1＝α＝－4.5．f(x)＝，则f′(－1)＝()A．B．－C．D．－[答案]D[解析]∵f(x)＝x－，∴f′(x)＝－x－，∴f′(－1)＝－(－1)－＝－.6.函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()A．e2B．2e2C．e2D．[答案]D[解析]∵y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为×|－e2|×1＝，故选D.二、填空题7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．[答案]3[解析]y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于________．[答案][解析]∵s′＝()′＝(t)′＝t－，∴质点在t＝32时的速度为×32－＝×(25)－＝.9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．[答案](2,1)[解析]设P(x0，y0)，∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答题10．求证双曲线y＝上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[解析]设双曲线上任意一点P(x0，y0)，∵y′＝－，∴点P处的切线方程y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝y0＋＝；令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0.∴S△＝|x|·|y|＝2.∴三角形面积为定值2.一、选择题11．(·北京东城区联考)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－C．D．[答案]C[解析]∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.12．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②y＝，则y′＝；③y＝log2x，则y′＝；④y＝cosx，则y′＝sinx；⑤已知f(x)＝3x，则f′(2)＝[f(2)]′.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]y＝＝x－3，y′＝－3x－4＝－，故①正确；y＝＝x，y′＝x－＝，故②不正确；y＝log2x，y′＝；故③不正确；y＝cosx，y′＝－sinx，故④不正确；∵f(2)为常数，∴[f(2)]′＝0，又f′(2)＝2xln2，∴⑤错误．13．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A．B．－C．D．－[答案]C[解析]y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.14．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为()A．(，)B．(－，－)或(，)C．(2kπ＋，)D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)[答案]D[解析]设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.二、填空题15．两曲线y＝与y＝在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案]－[解析]两曲线y＝与y＝的交点坐标为(1,1)，∴k1＝()′|x＝1＝－|x＝1＝－1，k2＝()′|x＝1＝|x＝1＝.∴k1·k2＝－.三、解答题16．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[解析](1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，∴切线方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴其他公共点为(1,1)及(－2，－8)．17．已知函数y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[解析]∵y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，∴，解得.∴y＝sinx.又∵y′＝cosx，∴y′|x＝0＝1.∴切线方程为y＝x.
