第一章：预备知识§1.1概率空间随机试验，样本空间记为Ω。设Ω是一个集合，F是Ω的某些子集组成的集合族。如果〔1〕F；〔2〕A若F，AA则F；〔3〕假设nAF，，，21n，那么1nnAF；那么称F为代数(Borel域)。(,F)称为可测空间，F中的元素称为事件。由定义易知：.216,,)5)4(111FAAAiFAFBAFBAFiiniiniii，，则，，，）若（；则若（；定义1.2设(,F)是可测空间，P(·)是定义在F上的实值函数。如果1121,,,31210,)1(iiiijiAPAPAAjiAAPAPFA有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意那么称P是F,上的概率，〔PF，，〕称为概率空间，P(A)为事件A的概率。设〔PF，，〕是概率空间，FG，如果对任意GAAAn,,,21，,2,1n有：,11niiniiAPAP那么称G为独立事件族。§1.2随机变量及其分布随机变量X，分布函数)(xF，n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，TtXt,是独立的。§设随机变量X的分布函数为)(xF，假设)(||xdFx，那么称)(XE＝)(xxdF为X的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。方差，EYYEXXEBXY为X、Y的协方差，而DYDXBXYXY为X、Y的相关系数。假设,0XY那么称X、Y不相关。〔Schwarz不等式〕假设,,22EYEX那么.222EYEXEXY§1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1.10设随机变量的分布函数为F〔x〕，称()(),jtXjtxgtEeedFxt为X的特征函数随机变量的特征函数具有以下性质：(1)(0)1,()1,()()ggtgtgt1(2)g(t)在,上一致连续。〔3〕()(0)()kkkgiEX(4)假设12,,,nXXX是相互独立的随机变量，那么12nXXXX的特征函数12()()()()ngtgtgtgt，其中()igt是随机变量Xi的特征函数，1,2,,in.定义1.11设12(,,,)nXXXX是n维随机变量，t=(12,,,nttt),R那么称121()(,,,)()[exp()]nitXnkkkgtgtttEeEitX,为X的特征函数。设X是非负整数值随机变量，分布列,2,1,kxXPpkk那么称)()(XdefsEsP＝kkksP0为X的母函数。§1.5n维正态分布定义1.13假设n维随机变量),,,(21nXXXX的联合概率密度为})()(21exp{)2(1),,,()(12/2/21TnnnaxBaxBxxxfxf式中，),,,(21naaaa是常向量，nnijbB)(是正定矩阵，那么称X为n维正态随机变量或服从n维正态分布，记作),(~BaNX。可以证明，假设),(~BaNX，那么X的特征函数为}21exp{),,,()(21tiBtiatttgtgn为了应用的方便，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论。性质1假设),(~BaNX那么nlbBaXEklXXkklk,,2,1,,)(。性质2设),(~BaNX，XAY，假设BAA正定，那么),(~BAAaANY。即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。性质3设),,,(4321XXXXX是四维正态随机变量，4,3,2,1,0)(kXEk，那么)()()()()()()(3241423143214321XXEXXEXXEXXEXXEXXEXXXXE§1.6条件期望给定Y=y时，X的条件期望定义为dxyxxfyxxdFyYXE)|()|()|(由此可见除了概率是关于事件｛Y=y｝的条件概率以外，现在的定义与无条件的情况完全一样。E(X|Y=y)是y的函数，y是Y的一个可能值。假设在Y的条件下，全面地考虑X的均值，需要以Y代替y，E(X|Y)是随机变量Y的函数，也是随机变量，称为X在Y下的条件期望。条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一个极其有用的性质。性质假设随机变量X与Y的期望存在，那么)()|()]|([)(ydFyYXEYXEEXEY--------(1)如果Y是离散型随机变量，那么上式为yyYPyYXEXE}{)|()(如果Y是连续型，具有概率密度f(x)，那么〔1〕式为dyyfyYXEXE)()|()(第二章随机过程的概念与根本类型§2.1随机过程的根本概念设〔PF，，〕是概率空间,T是给定的参数集,假设对每个t∈T，有一个随机变量X(t,e)与之对应，那么称随机变量族}),,({TtetX是〔PF，，〕的随机过程,简记为随机过程}),({TttX。T称为参数集，通常表示时间。通常将随机过程}),,({TtetX解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。从数学的观点来说，随机过程}),,({TtetX是定义在T×Ω上的二元函数。对固定的t，X(t,e)是定义在T上的普通函数，称为随机过程}),,({TtetX的一个样本函数或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。§2.2随机过程的函数特征tX={X(t),t∈T}的有限维分布函数族。有限维特征函数族：}1,,,,:),,,({2121,,1nTtttgnnttn其中：)})((exp{),,,(121,,1k...
