v1.0可编辑可修改11第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。六、教学过程v1.0可编辑可修改22本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。假定一个系统由n个状态变量1x，2x，⋯nx来描述。有时，每个状态变量不但是时间t的函数而且也是空间位置r的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t有关，即Xi＝Xi(t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。),,,(2111nXXXfdtdX),,,(2122nXXXfdtdX(1.1.1)⋯),,,(21nnnXXXfdtdX其中代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，if(i＝l，2，⋯n)一般是iX的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于if不明显地依赖时间t，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若if明显地依赖时间t，则称方程组为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。v1.0可编辑可修改33对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。例如:)cos(tAxx令yx，tz，上式化为.cos,zzAxyyx上式则是一个三维自治动力系统。又如：).,,(),,,(tvugvtvufu令tw，则化为.1),,,(),,,(wwvugvwvufu它就是三微自治动力系统.对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析解。二、相空间由n个状态变量iX＝(X1，X2，⋯Xn)描述的系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支起一个n维空间，这个n维空间就称为系统的相空间。在t时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点(相点)，即它代表了系统t时刻的状态。随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。它代表了系统状态的演化过程。三、稳定性把方程组(1.1.1)简写如下),,,(21niiXXXfdtdX，i＝l，2，⋯n(1.1.2)设方程组(1.1.2)在初始条件00)(iiXtX下的解为)(tXi，如果用与原来略有差别的v1.0可编辑可修改44初始条件iiiXtX00)(，i是一个小扰动，就会得到方程组的新解)(tXi。如果对于任意给定的＞0，存在＞0，并且i，当0tt时也满足)()(tXtXii，i＝l，2，⋯n(1.1.3)则称方程组(1.1.2)的解)(tXi是稳定的，否则它就是不稳定的。这样定义的稳定性称为Lyapunov稳定性。如果)(tXi是稳定的，并且满足极限条件0)()(limtXtXiit，i＝l，2，⋯n(1.1.4)则称)(tXi是惭近稳定的。上述抽象的数学定义可以直观理解为：方程组对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件)(0tXi和受扰动后的初始条件)(0tXi之差限定在一定的范围内，即)()(00tXtXii，未扰动解)(tXi和扰动解)(tXi之差也不超出一定的范围，即)()(tXtXii，则末扰动解)(tXi就是稳定的；如果)(tXi渐渐趋近于)(tXi，最终变得和)(tXi一致，则称)(tXi是渐近稳定的；如果)(tXi与)(tXi之差不存在一个有限范围，即)(tXi远离)(tXi，则称)(tXi是不稳定的。由上述Lyapunov稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断...
