【成才之路】-学年高中数学1.3.1二项式定理同步测试新人教A版选修2-3一、选择题1．(·景德镇市高二期末)在(x－)10的二项展开式中，x4的系数为()A．－120B．120C．－15D．15[答案]C[解析]Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－)r·Cx10－2r令10－2r＝4，则r＝3.∴x4的系数为(－)3C＝－15.2．(·福州文博中学高二期末)在(－)6的二项展开式中，x2的系数为()A．－B．C．－D．[答案]C[解析]∵Tr＋1＝C()6－r·(－)r＝C(－1)r22r－6x3－r(r＝0,1,2，…，6)，令3－r＝2得r＝1.∴x2的系数为C(－1)1·2－4＝－，故选C.3．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于()A．5B．3C．4D．7[答案]C[解析]令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.4．(·湖南理，4)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20[答案]A[解析]展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝()5－r·(－2)rCx5－ryr.当r＝3时为T4＝()2(－2)3Cx2y3＝－20x2y3，故选A.5．(·辽宁理，7)使(3x＋)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]由二项式的通项公式得Tr＋1＝C3n－rxn－r，若展开式中含有常数项，则n－r＝0，即n＝r，所以n最小值为5.选B.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207[答案]D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C＋C(－1)＝207.二、填空题7．x(x－)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)[答案]84[解析]x4的系数，即(x－)7展开式中x3的系数，Tr＋1＝C·x7－r·(－)r＝(－2)r·C·x7－2r，令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C＝84.8．(·景德镇市高二质检)设a＝sinxdx，则二项式(a－)6的展开式中的常数项等于________．[答案]－160[解析]a＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，二项式(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－)r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C＝－160.9．若(1＋)5＝a＋b(a、b为有理数)，则a＋b等于__________________．[答案]70[解析]∵(1＋)5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29＝a＋b，又a、b为有理数，∴∴a＋b＝41＋29＝70.三、解答题10．求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]根据二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cb得(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.一、选择题11．若二项式(－)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15[答案]C[解析]∵T5＝C()n－4·(－)4＝24·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12.12．在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3B．4C．5D．6[答案]D[解析]通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且C＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.13．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A．＜x＜B．＜x＜C．＜x＜D．＜x＜[答案]A[解析]由得∴＜x＜.二、填空题14．设二项式(x－)6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．[答案]2[解析]Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝(－a)rCx6－r，所以6－r＝3时，r＝2，所以A＝15a2,6－r＝0时，r＝4，所以B＝15a4，所以15a4＝4×15a2，所以a2＝4，又a>0，得a＝2.15．若x>0，设(＋)5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为________．[答案][解析]T3＝C·()3()2＝x，T4＝C·()2·()3＝，∴M＋N＝＋≥2＝.三、解答题16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．[解析]由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴…，x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.17．(·山东嘉祥一中高二期中，大庆实验中学期中)在二项式(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项．[解析](1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0；∵n≥2，∴n＝8.(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C()4·(－)4＝.(3)研究系数绝对值即可，解得2≤r≤3，∵r∈N，∴r＝2或3.∵r＝3时，系数为负．∴系数最大的项为T3＝7x.
