【成才之路】-学年高中数学第3章§3计算导数同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．设y＝e3，则y′等于()A．3e2B．e2C．0D．以上都不是[答案]C[解析]∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定[答案]B[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．3．f(x)＝，则f′(－1)＝()A.B．－C.D．－[答案]D[解析]∵f(x)＝x－，∴f′(x)＝－x－，∴f′(－1)＝－(－1)－＝－.4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值等于()A．4B．－4C．5D.－5[答案]A[解析]f(x)＝xα，f′(x)＝α·xα－1，所以f′(－1)＝α·(－1)α－1，当α＝4时，f′(－1)＝4×(－1)3＝－4，符合题意，另三个选项都不能满足f′(－1)＝－4，故选A.5．若f(x)＝sinx，则f′(2π)和(f(2π))′的值分别为()A．1和0B．－1和0C．0和1D．cosx和－1[答案]A[解析](sinx)′＝cosx，∴f′(2π)＝cos2π＝1.又f(2π)＝sin2π＝0，∴(f(2π))′＝0，故选A.6．(·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是()A．y＝sinxB．y＝exC．y＝lnxD．y＝cosx－[答案]D[解析]由y＝sinx得y′＝cosx为偶函数，故A错；又y＝ex时，y′＝ex为非奇非偶函数，∴B错；C中y＝lnx的定义域x>0，∴C错；D中y＝cosx－时，y′＝－sinx为奇函数，∴选D.7．(·长春市期末调研)已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A.B．－C.D．－[答案]C[解析]y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.二、填空题8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于____________．[答案][解析]∵s′＝()′＝(t)′＝t－，∴质点在t＝32时的速度为×32－＝×(25)－＝.9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．[答案](2,1)[解析]设P(x0，y0)，∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答题10．求证双曲线y＝上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[答案]定值为2，证明略[解析]设双曲线上任意一点P(x0，y0)，∵y′＝－，∴点P处的切线方程y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝y0＋＝；令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0.∴S△＝|x|·|y|＝2.∴三角形面积为定值2.一、选择题11．(·北京东城区联考)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－C.D.[答案]C[解析]∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.12．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②y＝，则y′＝；③y＝log2x，则y′＝；④y＝cosx，则y′＝sinx；⑤已知f(x)＝3x，则f′(2)＝[f(2)]′.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]y＝＝x－3，y′＝－3x－4＝－，故①正确；y＝＝x，y′＝x－＝，故②不正确；y＝log2x，y′＝；故③不正确；y＝cosx，y′＝－sinx，故④不正确；∵f(2)为常数，∴[f(2)]′＝0，又f′(2)＝32ln3，∴⑤错误．13．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx[答案]D[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4为最小正周期．∴f(x)＝f3(x)＝－cosx.14．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为()A．(，)B．(－，－)或(，)C．(2kπ＋，)D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)[答案]D[解析]设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.二、填空题15．两曲线y＝与y＝在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案]－[解析]两曲线y＝与y＝的交点坐标为(1,1)，∴k1＝()′|x＝1＝－|x＝1＝－1，k2＝()′|x＝1＝|x＝1＝.∴k1·k2＝－.三、解答题16．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[答案](1)3x－y－2＝0(2)其他公共点有(1,1)和(－2，－8)[解析](1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，∴切线方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴其他公共点为(1,1)及(－2，－8)．17．已知函数y＝asinx＋b的图像过点A(0,0)，B(，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[答案]y＝x[解析]∵y＝asinx＋b的图像过点A(0,0)，B(，－1)，∴，解得.∴y＝sinx.又∵y′＝cosx，∴y′|x＝0＝1.∴切线方程为y＝x.
