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高中数学 第3章 §3计算导数同步测试 北师大版选修1-1VIP免费

高中数学 第3章 §3计算导数同步测试 北师大版选修1-1_第1页
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【成才之路】-学年高中数学第3章§3计算导数同步测试北师大版选修1-1一、选择题1.设y=e3,则y′等于()A.3e2B.e2C.0D.以上都不是[答案]C[解析]∵y=e3是一个常数,∴y′=0.2.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有()A.1条B.2条C.3条D.不确定[答案]B[解析]∵f′(x)=3x2=3,解得x=±1.切点有两个,即可得切线有两条.3.f(x)=,则f′(-1)=()A.B.-C.D.-[答案]D[解析]∵f(x)=x-,∴f′(x)=-x-,∴f′(-1)=-(-1)-=-.4.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-4,则α的值等于()A.4B.-4C.5D.-5[答案]A[解析]f(x)=xα,f′(x)=α·xα-1,所以f′(-1)=α·(-1)α-1,当α=4时,f′(-1)=4×(-1)3=-4,符合题意,另三个选项都不能满足f′(-1)=-4,故选A.5.若f(x)=sinx,则f′(2π)和(f(2π))′的值分别为()A.1和0B.-1和0C.0和1D.cosx和-1[答案]A[解析](sinx)′=cosx,∴f′(2π)=cos2π=1.又f(2π)=sin2π=0,∴(f(2π))′=0,故选A.6.(·合肥一六八高二期中)下列函数中,导函数是奇函数的是()A.y=sinxB.y=exC.y=lnxD.y=cosx-[答案]D[解析]由y=sinx得y′=cosx为偶函数,故A错;又y=ex时,y′=ex为非奇非偶函数,∴B错;C中y=lnx的定义域x>0,∴C错;D中y=cosx-时,y′=-sinx为奇函数,∴选D.7.(·长春市期末调研)已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值为()A.B.-C.D.-[答案]C[解析]y′==k,∴x=,切点坐标为,又切点在曲线y=lnx上,∴ln=1,∴=e,k=.二、填空题8.质点沿直线运动的路程与时间的关系是s=,则质点在t=32时的速度等于____________.[答案][解析]∵s′=()′=(t)′=t-,∴质点在t=32时的速度为×32-=×(25)-=.9.在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为________.[答案](2,1)[解析]设P(x0,y0),∵y′=′=(4x-2)′=-8x-3,tan135°=-1,∴-8x=-1.∴x0=2,y0=1.三、解答题10.求证双曲线y=上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值.[答案]定值为2,证明略[解析]设双曲线上任意一点P(x0,y0),∵y′=-,∴点P处的切线方程y-y0=-(x-x0).令x=0,得y=y0+=;令y=0,得x=x0+xy0=2x0.∴S△=|x|·|y|=2.∴三角形面积为定值2.一、选择题11.(·北京东城区联考)曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为()A.1B.-C.D.[答案]C[解析]∵y=x3,∴y′|x=1=1,∴切线的倾斜角α满足tanα=1,∵0≤α<π,∴α=.12.给出下列结论:①若y=,则y′=-;②y=,则y′=;③y=log2x,则y′=;④y=cosx,则y′=sinx;⑤已知f(x)=3x,则f′(2)=[f(2)]′.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4[答案]A[解析]y==x-3,y′=-3x-4=-,故①正确;y==x,y′=x-=,故②不正确;y=log2x,y′=;故③不正确;y=cosx,y′=-sinx,故④不正确;∵f(2)为常数,∴[f(2)]′=0,又f′(2)=32ln3,∴⑤错误.13.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[答案]D[解析]f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=f1′(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=f2′(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=f3′(x)=(-cosx)′=sinx,∴4为最小正周期.∴f(x)=f3(x)=-cosx.14.正弦曲线y=sinx上切线的斜率等于的点为()A.(,)B.(-,-)或(,)C.(2kπ+,)D.(2kπ+,)或(2kπ-,-)[答案]D[解析]设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0,y0),∵y′|x=x0=cosx0=,∴x0=2kπ+或2kπ-,∴y0=或-.二、填空题15.两曲线y=与y=在交点处的两切线的斜率之积为________.[答案]-[解析]两曲线y=与y=的交点坐标为(1,1),∴k1=()′|x=1=-|x=1=-1,k2=()′|x=1=|x=1=.∴k1·k2=-.三、解答题16.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程;(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?[答案](1)3x-y-2=0(2)其他公共点有(1,1)和(-2,-8)[解析](1)∵y′=3x2,∴切线斜率k=3,∴切线方程y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由消去y得,3x-x3-2=0,∴(x-1)2(x+2)=0,∴x1=1,x2=-2.∴其他公共点为(1,1)及(-2,-8).17.已知函数y=asinx+b的图像过点A(0,0),B(,-1),试求函数在原点处的切线方程.[答案]y=x[解析]∵y=asinx+b的图像过点A(0,0),B(,-1),∴,解得.∴y=sinx.又∵y′=cosx,∴y′|x=0=1.∴切线方程为y=x.

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