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高中数学 3.2 均值不等式(第1课时)练习 新人教B版必修5VIP免费

高中数学 3.2 均值不等式(第1课时)练习 新人教B版必修5_第1页
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第三章3.2第1课时一、选择题1.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.+>D≥.+2[答案]D[解析]∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误.对于B、C,当a<0,b<0时,明显错误.对于D,∵ab>0,∴≥+2=2.2.设00,即>a,故选B.3.设x、y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A.10B.6C.4D.18[答案]D[解析]x+y=5,3x+3y≥2=2=2=18.4.已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10则a5a16的最大值为()A.100B.75C.50D.25[答案]D[解析]∵a5>0,a16>0,a5+a16=10,∴a5·a16≤()2=()2=25,当且仅当a5=a16=5时,等号成立.5.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为()A.8B.4C.1D.[答案]B[解析]根据题意得3a·3b=3,∴a+b=1,∴+=+=2≥++4.当a=b“”=时=成立.故选B.6.若02ab,a+b>2,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D.解法二:取a=,b=,则a2+b2=,2=,2ab=,a+b=,显然最大.二、填空题7.设实数a使a2+a-2>0成立,t>0,比较logat与loga的大小,结果为________________.[答案]logat≤loga[解析]∵a2+a-2>0,∴a<-2或a>1,又a>0且a≠1,∴a>1,∵t>0,∴≥,∴loga≥loga=logat,∴logat≤loga8.函数y=x·(3-2x)(0≤x≤1)的最大值为______________.[答案][解析]∵0≤x≤1,∴3-2x>0,∴y=2x·(3-2x)≤[]2=,当且仅当2x=3-2x即x=时,取“”=号.三、解答题9.已知a、b是正数,试比较与的大小.[解析]∵a>0,b>0,∴≥+2>0.∴≤=.≤即.一、选择题1.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是()A.2B.2C.4D.2[答案]C[解析]由lg2x+lg8y=lg2,得lg2x+3y=lg2,∴x+3y=1,+=(+)(x+3y)=2≥++4,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立.2.a=(x-1,2),b=(4,y)(x、y为正数),若a⊥b,则xy的最大值是()A.B.-C.1D.-1[答案]A[解析]由已知得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.∴xy=x(2-2x)≤=×()2=.3.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)()A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数[答案]A[解析]∵x<0,∴f(x)=2x+-1≤-2-1=-2-1,等号在-2x=,即x=-时成立.∴f(x)有最大值.4.已知x>0,y>0,x、a、b、y成等差数列,x、c、d、y成等比数列,则的最小值是()A.0B.1C.2D.4[答案]D[解析]由等差、等比数列的性质得==++2≥2+2=4.当且仅当x=y时取等号,∴所求最小值为4.二、填空题5.已知a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则P、Q、R的大小关系是________.[答案]Pb>1,所以lga>lgb>0,所以(lga+lgb)>,即Q>P,又因为>,所以lg>lg=(lga+lgb),所以R>Q.故P0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为________.[答案]4[解析]函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).∴m+n-1=0,即m+n=1.又mn>0,∴+=(+)·(m+n)=2+(+)≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立.三、解答题7.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?证明你的结论.[解析]不对.设左右臂长分别为l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b,真实重量为G,则由杠杆平衡原理有:l1·G=l2·a,①l2·G=l1·b,②①×②得G2=ab,∴G=,由于l1≠l2,故a≠b,由均值不等式>知说法不对,真实重量是两次称量结果的几何平均数.8.求函数y=1-2x-的值域.[解析]y=1-2x-=1-(2x+).①当x>0时,2x≥+2=2.当且仅当2x=,即x=时取等号.∴y=1-(2x+)≤1-2.②当x<0时,y=1+(-2x)+(-).∵-2x+(-)≥2=2.当且仅当-2x=-时,即x=-时取等号.∴此时y=1-2x≥-1+2综上知y∈(∞-,1-2]∪[1+2∞,+).∴函数y=1-2x-的值域为(∞-,1-2)∪[1+2∞,+).

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