高中数学 3.2 均值不等式（第1课时）练习新人教B版必修5VIP免费

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第三章3.2第1课时一、选择题1．若a、b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C．＋>D≥．＋2[答案]D[解析]∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴≥＋2＝2.2．设00，即>a，故选B．3．设x、y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18[答案]D[解析]x＋y＝5,3x＋3y≥2＝2＝2＝18.4．已知正项等差数列{an}中，a5＋a16＝10则a5a16的最大值为()A．100B．75C．50D．25[答案]D[解析]∵a5>0，a16>0，a5＋a16＝10，∴a5·a16≤()2＝()2＝25，当且仅当a5＝a16＝5时，等号成立．5．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D．[答案]B[解析]根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2≥＋＋4.当a＝b“”＝时＝成立．故选B．6．若02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．二、填空题7．设实数a使a2＋a－2>0成立，t>0，比较logat与loga的大小，结果为________________．[答案]logat≤loga[解析]∵a2＋a－2＞0，∴a＜－2或a＞1，又a＞0且a≠1，∴a＞1，∵t＞0，∴≥，∴loga≥loga＝logat，∴logat≤loga8．函数y＝x·(3－2x)(0≤x≤1)的最大值为______________．[答案][解析]∵0≤x≤1，∴3－2x＞0，∴y＝2x·(3－2x)≤[]2＝，当且仅当2x＝3－2x即x＝时，取“”＝号．三、解答题9．已知a、b是正数，试比较与的大小．[解析]∵a>0，b>0，∴≥＋2>0.∴≤＝.≤即.一、选择题1．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是()A．2B．2C．4D．2[答案]C[解析]由lg2x＋lg8y＝lg2，得lg2x＋3y＝lg2，∴x＋3y＝1，＋＝(＋)(x＋3y)＝2≥＋＋4，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．2．a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A．B．－C．1D．－1[答案]A[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)≤＝×()2＝.3．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数[答案]A[解析]∵x<0，∴f(x)＝2x＋－1≤－2－1＝－2－1，等号在－2x＝，即x＝－时成立．∴f(x)有最大值．4．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题5．已知a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系是________．[答案]Pb>1，所以lga>lgb>0，所以(lga＋lgb)>，即Q>P，又因为>，所以lg>lg＝(lga＋lgb)，所以R>Q.故P0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．[答案]4[解析]函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.又mn>0，∴＋＝(＋)·(m＋n)＝2＋(＋)≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，等号成立．三、解答题7．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．[解析]不对．设左右臂长分别为l1，l2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b，真实重量为G，则由杠杆平衡原理有：l1·G＝l2·a，①l2·G＝l1·b，②①×②得G2＝ab，∴G＝，由于l1≠l2，故a≠b，由均值不等式＞知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数．8．求函数y＝1－2x－的值域．[解析]y＝1－2x－＝1－(2x＋)．①当x>0时，2x≥＋2＝2.当且仅当2x＝，即x＝时取等号．∴y＝1－(2x＋)≤1－2.②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－)．∵－2x＋(－)≥2＝2.当且仅当－2x＝－时，即x＝－时取等号．∴此时y＝1－2x≥－1＋2综上知y∈(∞－，1－2]∪[1＋2∞，＋)．∴函数y＝1－2x－的值域为(∞－，1－2)∪[1＋2∞，＋)．

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