第三章§3第1课时一、选择题1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋B．y＝sinx＋，x∈C．y＝D．y＝＋[答案]D[解析]A中，不满足正数这一条件；B中， x∈，∴sinx∈(0,1)，∴等号不成立；C中，y＝＝＝＋，当＝时，x2＋2＝1，x2＝－1(不成立)；D中>0，y≥＝＋2，当且仅当＝，即x＝1时，取最小值2.故选D．2．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D．[答案]B[解析]由已知，得3a·3b＝3，∴3a＋b＝3，∴a＋b＝1. a>0，b>0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝2≥＋＋2＋＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立．3．若x>4，则函数y＝x＋()A．有最大值－6B．有最小值6C．有最大值－2D．有最小值2[答案]B[解析] x>4，∴x－4>0，∴y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6.当且仅当x－4＝，即x－4＝1，x＝5时，取等号．4．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则()A．R
0，y>0，且1≥＝＋2，∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时，等号成立．三、解答题9．(1)若x>0，y>0，且lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值；(2)已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝2，求lgx·lgy的最大值；(3)已知x>1，求y＝的最小值．[解析](1) lgx＋lgy＝2，∴lgxy＝2，∴xy＝100，又 5x＋2y≥2＝2＝20，当且仅当5x＝2y，即x＝2，y＝5时，5x＋2y取得最小值20.(2) x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴lgx·lgy≤()2，∴lgx·lgy≤1，即lgx·lgy的最大值为1.当且仅当lgx＝lgy，即x＝y＝10时，等号成立．(3)y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即(x－1)2＝1时，等式成立， x>1，∴当x＝2时，ymin＝4.10．(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值．(2)设x>0，求y＝2－x－的最大值．[解析]y＝＋x＝＋(x－3)＋3， x>3，∴x－3>0，∴＋(x－3)≥2＝2，当且仅当＝x－3，即x－3＝1，x＝4时，等号成立．∴当x＝4时，函数y＝＋x(x>3)取最小值2＋3＝5.(2) x>0，∴x≥＋2＝4，∴y＝2≤－2－4＝－2.当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，y取最大值－2.一、选择题1．如果a，b满足02a，∴a<，又a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab， 1＝a＋b>2，∴ab<，∴1－2ab>1－＝，即a2＋b2>.解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝， >>>，∴a2＋b2最大．2．设x＋3y＝2，则函数z＝3x＋27y的最小值是()A．B．2C．3D．6[答案]D[解析]z＝3x＋27y≥2＝2＝6，当且仅当x＝2y＝1，即x＝1，y＝时，z＝3x＋27y取最小值6.3．设a，b为正数，若是5a与5b的等比中项，则＋的最小值为()A．5B．2C．5＋2D．3＋2[答案]C[解析]5a·5b＝5，∴a＋b＝1，(＋)(a＋b)＝3＋2≥＋＋5＋2.故选C．4．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则＋的最小值等于()A．1B．3C．2D．4[答案]C[解析]＋＝(a＋b)＝1≥＋2，等号在a＝b＝1时成立．二、填空题5．周长为l的矩形对角线长的最小值为________．[答案]l[解析]设矩形长为a，宽为b，则a＋b＝， (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥，∴≥对角线长＝l.当且仅当a＝b“”时，取＝．6．若a>0，b>0，a＋b＝2...
