第三章§3第2课时一、选择题1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤2[答案]C[解析]由a＋b＝2，得ab≤()2＝1，排除A、B≥；又()2，∴a2＋b2≥2.故选C．2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数[答案]A[解析]令2x＝，由x<0得x＝－，∴在x＝－两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C、D．f(x)＝2x＋－1＝－－1≤－2－1＝－2－1，等号在x＝－时成立，排除B．3．设x>0，y>0，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(＋1)B．xy≤＋1C．x＋y≤(＋1)2D．xy≥2(＋1)[答案]A[解析] x>0，y>0，∴xy＝x＋y＋1≤()2，∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，当且仅当x＝y＝＋1时等号成立．∴x＋y≥2＋2.故选A．4．若x∈R，则下列不等式成立的是()A．lg(x2＋1)≥lg2xB．x2＋1>2xC．<1D．2x≤2[答案]D[解析]A中，x≤0时，不等式不成立；B中x＝1时，不等式不成立；C中x＝0时，不等式不成立，故选D．5．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3米B．4米C．6米D．12米[答案]A[解析]解法一：设隔墙的长度为xm，则矩形的宽为xm，长为＝(12－2x)m，矩形的面积为S＝(12－2x)x＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S取最大值，故选A．解法二：(接解法一)S＝(12－2x)·x＝2(6－x)·x≤2·2＝18当且仅当6－x＝x即x＝3“”时取＝．故选A．6．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]因为x，a，b，y成等差数列，所以a＋b＝x＋y.因为x，c，d，y成等比数列，所以cd＝xy，所以＝＝＝＋2.因为x>0，y>0，所以＋2≥＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．二、填空题7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．[答案]18[解析]本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值． log2a＋log2b≥1∴log2ab≥1，ab≥2.∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b＝2“”时取＝)3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2＝18.(当且仅当a＝2b＝2“”时取＝)8．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．[答案]8[解析]函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图像恒过点A(－2，－1)，则有2m＋n－1＝0，即2m＋n＝1.又 mn>0，∴＋＝·(2m＋n)＝4≥＋4＋4＝8，当且仅当2m＝n时等号成立．三、解答题9．已知a、b、c∈(0∞，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.[证明] a＋b＋c＝1，代入不等式的左端，∴(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝(＋)(＋)(＋)＝＋＋＋＋＋＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋2. a、b、c∈(0∞，＋)，∴≥＋2，≥＋2≥，＋2，∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6，∴(－1)(－1)(－1)≥8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．10．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值．[解析] a2＋＝1，∴a2＋＝，a＝·a·≤·＝·＝.∴当a2＋＝1且a＝，即a＝，b＝时，a的最大值为.一、选择题1．已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(1∞，＋)B．[1∞，＋)C．(2∞，＋)D．[2∞，＋)[答案]C[解析]由条件得|lga|＝|lgb|，∴lga＝lgb或lga＝－lgb， a≠b，∴lga＝lgb不成立．∴只有lga＝－lgB．即lga＋lgb＝0，∴ab＝1，b＝.又a>0，∴a＋b＝a＋>2，故选C．2．下列命题中正确的是()A．函数y＝x＋的最小值为2B．函数y＝的最小值为2C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4[答案]D[解析]对于A，当x<0时，不成立；对于B，若设＝2，则无实数解；对于C、D，y＝2－3x≤－2－4(x>0)，当且仅当3x＝时，等号成立，故选D．3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A．B．C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4(等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D．4．设a、b是两个实数，且a≠b...
