【成才之路】版高中数学3.4基本不等式（第1课时）练习一、选择题1．函数f(x)＝的最大值为()A.B．C.D．1[答案]B[解析]令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝.当t＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝＝. t≥＋2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3[答案]C[解析] a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴b＝2－a(0≤a≤2)，∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1. 0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2. 0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.B．a2＋b2C．2abD．a[答案]B[解析]解法一： 0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，又 a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab， 1＝a＋b＞2，∴ab＜，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞.故选B.解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝， ＞＞＞，∴a2＋b2最大．4．(·湖南师大附中高二期中)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D．[答案]B[解析]根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2≥＋＋4.当a＝b“”＝时＝成立．故选B.5．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则＋的最小值等于()A．1B．3C．2D．4[答案]C[解析]＋＝(a＋b)＝1≥＋2，等号在a＝b＝1时成立．6．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题7．若0
0，∴x(1－x)≤[]2＝，等号在x＝1－x，即x＝时成立，∴所求最大值为.8．已知t>0，则函数y＝的最小值是________．[答案]－2[解析] t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．[解析](1) x>0，y>0，由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.又 2x＋5y＝20，∴20≥2·，∴≤，∴xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．由，解得.∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥2＝2＝20.∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，y＝5时，等号成立．所以5x＋2y的最小值为20.10．求函数y＝的最小值，其中a>0.[解析]当01时，令＝t(t≥)，则有y＝f(t)＝t＋.设t2>t1≥>1，则f(t2)－f(t1)＝>0，∴f(t)在[∞，＋)上是增函数．∴ymin＝f()＝，此时x＝0.综上，当01，x＝0时，ymin＝.一、选择题1．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D≥．＋2[答案]D[解析]a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D.2．若02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥[答案]B[解析] 这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x≤＝＝1＋，∴x≤，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.4．(·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A.B．－C．1D．－1[答案]A[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)≤＝×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为.二、填空题5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．[答案]6[解析]≥＋2，∴2≤2，∴xy≥6.6．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________．[答案]1[解析] x＜，∴4x－5...
