【成才之路】版高中数学3.4基本不等式（第2课时）练习一、选择题1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．2[答案]D[解析]a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D.2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10[答案]B[解析]由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B.3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.>B≤．＋1C.≥2D≤．[答案]D[解析] a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，∴ab≤4，∴≥，∴≥＋＝＝1，故A、B、C均错，选D.4．已知正数x、y满足＋＝1，则xy有()A．最小值B．最大值16C．最小值16D．最大值[答案]C[解析] x>0，y>0，∴≥＋2＝4，又 ＋＝1，∴4≤1，∴≤，∴xy≥16，故选C.5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4C．2D．8[答案]B[解析] 2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝.6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．2D．[答案]A[解析] x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2＝2＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立． x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.二、填空题7．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．[答案]5[解析] x>0，y>0，＋＝2，∴2≥2，∴xy≥15，当且仅当＝，且＋＝2，即x＝5，y＝3时，取等号．8．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池池底的一边长为xm，则另一边长为m，则总造价为：y＝480＋80××2＝480＋320≥480＋320×2＝1760.当且仅当x＝即x＝2时，y取最小值1760.所以水池的最低总造价为1760元．三、解答题9．已知a、b、c∈R≥＋，求证：＋＋a＋b＋c.[证明] a、b、c∈R＋，，，均大于0，又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b，＋a≥2＝2c，三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，∴≥＋＋a＋b＋c.10．已知a、b、c∈R≥，求证：＋＋(a＋b＋c)．[证明] ≤，∴≥＝(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．≥同理(b＋c)(等号在b＝c时成立)．≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．三式相加得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).一、选择题1．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7B．3C．1＋2D．5[答案]A[解析]由已知得x＋3y＝2，3x>0,27y>0，∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝时等号成立．2．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为()A．6B．7C．8D．9[答案]D[解析] a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．∴＝·＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D.3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A.B．C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4(等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D.4．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B.二、填空题5．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________．[答案]4[解析] a>0，∴(x＋y)(＋)＝1＋a≥＋＋1＋a＋2，由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.6．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[答案][解析] x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.又 xy≤()2，∴(x＋y)2≤()2＋1，即(x＋y)2≤1.∴(x＋y)2≤.∴≤－x＋y≤.∴x＋y的最大值为.三、解答题7．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．[解析] 2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，...
