第十六模块推理证明与数学归纳法第一部分合情推理与演绎推理一、推理断结论：由前提推出的判设前提：已知的事实或假二、推理分类主要讲三段论推理演绎推理类比推理归纳推理合情推理合情推理：前提为真，结论可能为真的推理演绎推理：前提为真，结论必然为真的推理合情推理的意义，可以根据条件猜测结论，为证明提供方向。归纳推理：根据一类事物部分对象具有的性质推出这类事物所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理。类比推理：根据两类事物A与B有某些性质P类似（或完全相同）。若A类事物还有性质q可猜测B事物也有q的性质。例母鸡与母鸭都是家禽类，母鸭会下蛋，类比推理母鸡也会下蛋。母鸡与母鸭都是家禽类，母鸭会游泳，类比推理母鸡也会游泳。白母鸭与黑母鸭都是家禽类，白母鸭会游泳，类比推理黑母鸭也会游泳。三段论推理：大前提：一般性的判断，如性质，公理，定理，公式，已知常识等小前提：已知条件结论：由大前提和小前提推出的判断例：用三段论推理证明下面问题已知：AB//CD,求证：∠1=∠2大前提：两直线平行，同位角相等小前提：∠1与∠2是同位角，结论：∠1=∠2第二部分直接证明与间接证明证明方法反证法间接证明：分析法综合法直接证明一、综合法由因到果（略）12二、分析法：由果索因若a,b,c是不全相等的正数，求证：cbaaccbbalglglg2lg2lg2lg要想结论成立只需abcaccbbalg2.2.2lg成立由于y=lgx在,0x上为增函数故这只需abcaccbba2.2.2①成立因为Rcbacaacbccbabba,,2;2;2由于a,b,c是不全相等的正数故所以abcaccbba2.2.2a,b,c是不全相等的正数，所以等号取不到所以①成立。所以原命题正确分析法套话：要想⋯成立只需⋯成立这只需⋯成立即⋯成立（变形）因为⋯所以⋯显然成立所以原命题正确三、反证法：1、证明格式：首先做出与问题结论相反的假设从假设出发，经过推理论证得出矛盾所以假设不成立，原命题正确注：这里的矛盾指的是与已知的矛盾，与假设矛盾，与公理，性质，定理矛盾。例已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0求证：a>0,b>0,c>0师生活动：把“全（都）”，“不全（都）”，“至多”，“至少”化成恰好，找到原命题结论的否定结论。A,b,c有3个数大于0，有0个数小于或等于0a,b,c有2个数大于0，有1个数小于或等于0a,b,c有1个数大于0，有2个数小于或等于0a,b,c有0个数大于0，有3个数小于或等于0从上面的分析可以看出，a,b,c全都大于0的反面是a,b,c至少有一个数小于或等于0不妨设c≤0由于abc>0故c≠0,故c<0以下略第三部分数学归纳法一、数学归纳法证明步骤1、奠基步：验证nn0时命题成立（n0是使命题成立的最小自然数）2、递推步：假设n=k时命题正确（此时默认knn0时命题正确，所以这一步也叫做归纳假设）验证n=k+1时命题正确3、综上：Nnnn,0命题成立二、数学归纳法类型题几何问题整除问题数列问题不等式问题等式问题（一）等式问题例求证：Nnnnnnnn1221212分析：⑴当n=1(从哪看出来？)左=？怎么算？两头代中间夹。右=？两头代中间夹∴左=右∴n=1时命题正确⑵假设n=k时命题正确。即Nkkkkkkk1231212（把n换成k抄一遍）当n=k+1时左=？直接代入，再用“两头代中间夹”变形技巧把归纳假设找出来，用归纳假设证明问题。右=？直接代入∴n=k+1时命题正确综上Nn*命题成立证明：⑴当n=1时左=1+1=2，右=2121∴左=右∴n=1时命题正确⑵假设n=k时命题正确。即Nkkkkkkk1231212当n=k+1时右123121kk左=2232kkk=右∴n=k+1时命题正确综上Nn*命题成立㈡不等式问题用数学归纳法证明证明：当n=2时左=31211右=2∴左<右∴n=2时命题正确假设n=k时命题正确，即kk11312112成立当n=k+1时左=113121121k
