2．基本不等式1．基本不等式的定理1,2定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．2．基本不等式的理解重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式a＋b2≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使a＋b2≥ab成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b.3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2＋b2≥(a＋b)22；(2)ab≤a2＋b22；(3)ab≤a＋b22；(4)a＋b22≤a2＋b22；(5)(a＋b)2≥4ab.利用基本不等式证明不等式[例1]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.[思路点拨]解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．[证明]法一： a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即1a＋1b＋1c≥9.法二： a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c＝1＋ba＋ca＋ab＋1＋cb＋ac＋bc＋1＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴1a＋1b＋1c≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明：因为a，b，c，d都是正数，所以ab＋cd2≥ab·cd＞0，ac＋bd2≥ac·bd＞0，所以(ab＋cd)(ac＋bd)4≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．2．已知a，b，c为正实数，求证：(1)(a＋b)(b＋c)(c＋a)abc≥8；(2)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.证明：(1) a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0，由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8ab·bc·ca＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)abc≥8.(2) a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，由上面三式相加可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca.即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.利用基本不等式求最值[例2](1)当x>0时，求f(x)＝2xx2＋1的值域；(2)设00，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[思路点拨]根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值．[解](1) x>0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x. x＋1x≥2，∴0<1x＋1x≤12.∴00.∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋(3－2x)22＝92.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立．∴y＝4x(3－2x)的最大值为92.(3) x>0，y>0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则1x＋1y的最小值是()A．4B．3C．2D．1解析：选D1x＋1y＝x＋yxy≥2xyxy＝2xy，当且仅当x＝y时取等号． log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.∴1x＋1y≥2xy＝1，当且仅当x＝y＝2时取等号，故1x＋1y的最小值为1.4．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则1x＋1y的最大值为()A．2B．3C．4D．log23解析：选B由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，∴1x＋1y＝1loga2＋1logb2＝log2a＋log2b＝log2(ab)．又a>1，b>1，∴8＝2a＋b≥22ab，即ab≤8，当...
