2．基本不等式1．基本不等式的定理1,2定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．2．基本不等式的理解重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式a＋b2≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使a＋b2≥ab成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b
3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2＋b2≥(a＋b)22；(2)ab≤a2＋b22；(3)ab≤a＋b22；(4)a＋b22≤a2＋b22；(5)(a＋b)2≥4ab
利用基本不等式证明不等式[例1]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1
求证：1a＋1b＋1c≥9
[思路点拨]解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．[证明]法一： a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即1a＋1b＋1c≥9
法二： a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c＝1＋ba＋ca＋ab＋1＋cb＋ac＋bc＋1＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴1a＋1b＋1c≥9
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进
