2.1平面向量的实际背景及基本概念A级基础巩固一、选择题1．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤解析：由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确．答案：D2．下列命题中，正确的是()A．|a|＝1?a＝±1B．|a|＝|b|且a∥b?a＝bC．a＝b?a∥bD．a∥0?|a|＝0解析：两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行．答案：C3．如图所示，在⊙O中，向量OB→、OC→、AO→是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量答案：C4．数轴上点A、B分别对应－1、2，则向量AB→的长度是()A．－1B．2C．1D．3解析：易知|AB→|＝2－(－1)＝3.答案：D5．若|AB→|＝|AD→|且BA→＝CD→，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：由BA→＝CD→知四边形为平行四边形；由|AB→|＝|AD→|知四边形ABCD为菱形．答案：C二、填空题6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB→是平行向量，与BC→是共线向量，则m＝________．解析：因为A，B，C三点不共线，所以AB→与BC→不共线，又因为m∥AB→且m∥BC→，所以m＝0.答案：07.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中，与AF→相等的向量有________．解析：因为各方格均为正方形，则有BE→＝CD→＝AF→.答案：BE→，CD→8．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD→(其中D在边BC上运动)，则向量AD→长度的最小值为________．解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为532.答案：532三、解答题9.如图所示，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE→长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量FD→相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE→，FD→共线的向量．解：(1)与DE→长度相等的向量是EF→，FD→，AF→，FC→，BD→，DA→，CE→，EB→；(2)与FD→相等的向量是CE→，EB→；(3)与DE→共线的向量是AC→，AF→，FC→；与FD→共线的向量是CE→，EB→，CB→.10.如图所示，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1km到了B村，另一人沿北偏西30°方向行走了3km到了C村，问B、C两村相距多远？B村在C村的什么方向上？解：由题可知|AB→|＝1，|AC→|＝3，∠CAB＝90°，则|BC→|＝2，又tan∠ACB＝|AB→||AC→|＝13＝33，所以∠ACB＝30°，故B、C两村间的距离为2km，B村在C村的南偏东60°的方向上．B级能力提升1．已知点O固定，且|OA→|＝2，则A点构成的图形是()A．一个点B．一条直线C．一个圆D．不能确定解析：因为|OA→|＝2，所以终点A到起点O的距离为2.又因为O点固定，所以A点的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．答案：C2．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.答案：①③④3．如图的方格纸由于若干个边长为1的小正方体并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|AC→|＝5.(1)画出所有的向量AC→；(2)求|BC→|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC→，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC→|取得最小值12＋22＝5；②当点C位于点C5或C6时，|BC→|取得最大值42＋52＝41；所以|BC→|的最大值为41，最小值为5.
