二圆内接四边形的性质与判定定理课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的有()①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角;②圆内接四边形的对角相等;③圆内接四边形不能是梯形;④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形.A.0个B.1个C.2个D.3个解析①是圆内接四边形的性质定理2,故①正确;圆内接四边形的对角互补,但不一定相等,故②不正确;圆的内接四边形可以是梯形,故③不正确;顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形,故④不正确.答案B2圆内接平行四边形的对角线()A.互相垂直B.互相垂直平分C.互相平分且相等D.相等且平分每组对角解析圆内接平行四边形必为矩形,故其对角线互相平分且相等.答案C3如图,已知圆内接四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点P,对角线AC和BD交于点Q,则图中共有相似三角形的对数为()A.4B.3C.2D.1解析利用圆周角和圆内接四边形的性质,可得△PCD∽△PAB,△QCD∽△QBA,△AQD∽△BQC,△PAC∽△PBD,因此共有4对.答案A4如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AH⊥CD,如果∠HAD=30°,那么∠B=()A.90°B.120°C.135°D.150°解析 AH⊥CD,∴∠AHD=90°. ∠HAD=30°,∴∠D=90°-∠HAD=60°.又四边形ABCD内接于圆O,∴∠B=180°-∠D=120°.答案B5已知四边形ABCD内接于圆O,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D=.解析 圆的内接四边形的对角互补,∴∠A+∠C=180°.又∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=140°.又∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-60°=120°.答案120°6如图,已知AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠BAC=20°,?????=?????,则∠DAC=.解析 AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°.又四边形ABCD内接于圆O,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.则在△ADC中,∠DAC+∠DCA=70°.又?????=?????,∴∠DAC=∠DCA.∴∠DAC=35°.答案35°7如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若????????=13,则????????的值为.解析由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,则△PAD∽△PCB,故????????=????????=13.答案138如图,☉O1与☉O2相交于点A,B,且☉O2经过点O1,若∠D=40°,则∠C=.解析如图,连接O1A,O1B,则四边形AO1BD内接于☉O2,故∠AO1B+∠D=180°.又∠D=40°,∴∠AO1B=140°,∴∠ACB=12∠AO1B=12×140°=70°.答案70°9如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD,BC分别交于E,F两点.求证:C,D,E,F四点共圆.分析连接EF.由∠B+∠AEF=180°,∠B+∠C=180°,可得∠AEF=∠C.即四边形EFCD的一个外角等于它的内角的对角,故C,D,E,F四点共圆.证明如图,连接EF. 四边形ABCD为平行四边形,∴∠B+∠C=180°. 四边形ABFE内接于圆,∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C,D,E,F四点共圆.10如图,AB,CD都是圆的弦,且AB∥CD,F为圆上一点,延长FD,AB使它们交于点E.求证:AE·AC=AF·DE.分析连接BD,则BD=AC,即证AE·BD=AF·DE,只要证明△EBD∽△EFA.证明如图,连接BD, AB∥CD,∴BD=AC. A,B,D,F四点共圆,∴∠EBD=∠F.又∠DEB=∠FEA,∴△EBD∽△EFA.∴????????=????????.∴????????=????????,即AE·AC=AF·DE.能力提升1如图,在☉O中,弦AB的长等于半径,若∠DAE=80°,则∠ACD=()A.30°B.45°C.50°D.60°解析 四边形ABCD内接于圆O,∴∠DAE=∠BCD=80°. 弦AB的长等于半径,∴弦AB所对圆心角为60°.∴∠ACB=12×60°=30°.∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°.答案C2如图,已知AB是☉O的直径,点E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为()A.√3B.2√3C.√32D.1解析连接AE,OD,OE, AB是直径,∴∠AEB=90°.又∠BED=120°,∴∠AED=30°.∴∠AOD=2∠AED=60°. OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°. 点E为BC的中点,∠AEB=90°,∴AB=AC.∴△ABC是边长为4的等边三角形,△EDC是边长为2的等边三角形,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴?????和弦BE围成的部分的面积=?????和弦DE所围成的部分的面积,∴阴影部分的面积之和=S△EDC=√34×22=√3.答案A3如图,以AB为直径的圆与△ABC的两边分别交于E,F两点,若AB=4,∠ACB=60°,则EF=.解析如图,连接AE, AB为圆的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°.又∠ACB=60°,∴CA=2CE.由圆内接四边形性质易得,∠CFE=∠CBA.又∠C=∠C,∴...
