高中数学讲义微专题24恒成立问题——最值分析法含恒成立综合习题VIP专享VIP免费

-1-/33微专题24恒成立问题——最值分析法最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。一、基础知识：1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设fx的定义域为D（1）若xD，均有fxC（其中C为常数），则maxfxC（2）若xD，均有fxC（其中C为常数），则minfxC3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：①观察函数fx的零点是否便于猜出（注意边界点的值）②缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。二、典型例题：例1：设222fxxmx，当1,x时，fxm恒成立，求m的取值范围-2-/33思路：恒成立不等式为2220xmxm，只需2min220xmxm，由于左端是关于x的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法解：恒成立不等式为2220xmxm，令222gxxmxm则对称轴为xm（1）当1m时，gx在1,单调递增，min11220gxgmm3m即3,1m（2）当1m时，gx在1,m单调递减，在,m单调递增22min22021gxgmmmmm1,1m终上所述：3,1m小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。思路二：从另一个角度看，本题,mx容易进行分离，所以也可考虑参变分离法解：22220212xmxmxmx（1）12102xx时，则2min221xmx(由于m系数符号未定，故分类讨论进行参变分离）令21,0txt（换元时注意更新新元的取值范围）则22212229194=212144txtttxttt（2）12102xx，不等式对任意的m均成立（3）12102xx，2max221xmx(注意不等号变号！！）令21,10txt,则22212229194=232144txtttxttt3m-3-/33综上所述：3,1m小炼有话说：（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对x分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比（2）最后确定m的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对x进行的，m的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集例2：已知函数2lnxfxaxxa，对任意的12,0,1xx，不等式121fxfxa恒成立，则a的取值范围是___________思路：若不等式恒成立，则12max1afxfx，1fx与2fx差的最大值即为fx最大值与最小值的差。所以考虑求2lnxfxaxxa在0,1的最大最小值，'ln2ln1ln2xxfxaaxaaax，若1a，则10,ln0xaa，所以1ln0xaa，若01a，则10,ln0xaa，所以1ln0xaa。而20x，所以无论a为何值，'0fx，则fx在0,1单调递增。maxmin10lnfxfxffaa，从而1lnaaa，解得ae答案：,e例3：已知函数ln10fxaxa，在区间1,e上，fxx恒成立，求a的取值范围思路一：恒成立的不等式为ln1axx即ln10axx,令ln1gxaxx观察到两点特征：(1)gx导函数易分析单调性，（2）10g,对单调性会有一定要求进而限制参数a的取值。所以考虑使用最值法求解。解：fxx恒成立即不等式ln10axx恒成立，令ln1gxaxx只需min0gx即可，10g'1aaxgxxx，令'00axgxxax（分析gx的单调性）当1a时gx在1,e单调递减，则010gxg-4-/33(思考：为什么以1a作为分界点讨论？因为找到10g，若要不等式成立，那么一定从1x处起gx要增（不一定在1,e上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a时导致gx在1x处开始单减，那么一定...