-1-/15微专题38向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l，AB是轴上的有向线段，如果实数满足AB，且当AB与轴同向时，0，当AB与轴反向时，0，则称为轴l上有向线段AB的值。（2）点在直线上的投影：若点A在直线l外，则过A作'AAl于'A，则称'A为A在直线l上的投影；若点A在直线l上，则A在A在直线l上的投影'A与A重合。所以说，投影往往伴随着垂直。（3）向量的投影：已知向量,ab，若a的起点,AB在b所在轴l（与b同向）上的投影分别为'',AB，则向量''AB在轴l上的值称为a在b上的投影，向量''AB称为a在b上的投影向量。2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记为向量,ab的夹角（1）为锐角：则投影（无论是a在b上的投影还是b在a上的投影）均为正（2）为直角：则投影为零（3）为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a在b上的投影为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当为锐角时，cosb，因为0，所以cosb（2）当为锐角时，coscosbb，因为0，所以cosb即cosb（3）当为直角时，0，而cos0，所以也符合cosb综上可得：a在b上的投影cosb，即被投影向量的模乘以两向量的夹角AA'-2-/154、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,ab数量积公式为cosabab，可变形为cosabab或cosabba，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,ab的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即ababb（记ab为a在b上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：ababb即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题二、典型例题：例1：已知向量,ab满足3,23ab，且aab，则b在a方向上的投影为（）A．3B．3.C．332D．332思路：考虑b在a上的投影为abb，所以只需求出ab即可。由aab可得：20aabaab，所以9ab。进而933223abb答案：C小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长例2：如图，在ABC中，4,30ABBCABC，AD是边BC上的高，则ADAC的值等于（）-3-/15A．0B．4C．8D．4思路：由图中垂直可得：AC在AD上的投影为AD，所以2ADACAD，只需求出ABC的高即可。由已知可得sin2ADABABC，所以24ADACAD答案：B例3：两个半径分别为12,rr的圆,MN,公共弦AB长为3，如图所示，则AMABANAB__________.AB思路：AB为两个圆的公共弦，从而圆心,MN到弦AB的投影为的中点，进而,AMAN在AB上的投影能够确定，所以考虑计算AMAB和ANAB时可利用向量的投影定义。解：取AB中点T，连结,MTNT，由圆的性质可得：,MTABNTAB21922AMABATABAB21922ANABATABAB9AMABANAB例4：如图，O为ABC的外心，4,2,ABACBAC为钝角，M是边BC的中点，则AMAO的值为（）A.4B.5C.6D.7,PQ，思路：外心O在,ABAC上的投影恰好为它们的中点，分别设为所以AO在,ABAC上的投影为11,22APABAQAC，而M恰好为BC中点，故考虑12AMABAC，所以2211111+522222AMAOABACAOABAOACAOABAC答案：B小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。例5：若过点1,1P的直线l与22:4Oxy相交于,AB两-4-/15点，则OAOB的取值范围是_______思路：本题中因为,OAOB位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B作直线OA的垂线，垂足为D，通过旋转AB可发现，当OBOA时，0OAOB，AB位于其他位置时，D点始终位于OA的反向延长线上，OAOBOAOD，故0OAOB，故max0OAOB，下面寻找最小值，即DO的最大值，可得当B在OA上的投影与C重合时，DA最大，即为AC，此时直线OP即为直线AB。所以2min4OAOBOAODOAOCr。进而OAOB的范围是4,0答案：4,0...
