1/102.5.2椭圆的几何性质学习目标核心素养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象，数学运算素养．奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)．所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)范围x∈[－a，a]，x∈[－b，b]，2/10y∈[－b，b]y∈[－a，a]顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca(0＜e＜1)思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？[提示]最大距离：a＋c；最小距离：a－c．思考2：椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？[提示]在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a－c．()(3)椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆．()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)×椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a．(2)√椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c．(3)√离心率e＝ca越小，c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()3/10A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)D[x2＋y26＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为()A．32B．34C．22D．23A[化椭圆方程为标准形式得x24＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3．所以e＝ca＝32．]4．椭圆x29＋y216＝1的焦点坐标是，顶点坐标是．(0，±7)(±3,0)，(0，±4)[由方程x29＋y216＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7．因此焦点坐标为(0，±7)，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]椭圆的几何性质【例1】求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．[解]把已知方程化成标准方程x252＋y242＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝ca＝35，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．4/101．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．[跟进训练]1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]将椭圆方程变形为x29＋y24＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝ca＝53．利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．[解](1)将方程4x2＋9y2＝36化为x29＋y24＝1，可得椭圆焦距为2c＝25．又因为离心率e＝55，即55＝5a，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为x225＋y2...
