【成才之路】-学年高中数学2.2从位移的合成到向量的加法基础巩固北师大版必修4一、选择题1．化简OP＋PQ＋PS＋SP的结果等于()A．QPB．OQC．SPD．SQ[答案]B[解析]原式＝(OP＋PQ)＋(PS＋SP)＝OQ＋0＝OQ.2．设(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝a，而b是一个非零向量，则在下列各结论中，正确的结论为()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.A．①②B．③④C．②④D．①③[答案]D[解析]由向量加法的交换律、结合律及三角形法则，得a＝0，由向量的性质可知②④错误，①③正确．3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()A．EF＝OF＋OEB．EF＋OE＝OFC．EF＝FO＋OED．EF＝FO＋EO[答案]B[解析]可以画出图形，然后利用三角形法则找出正确答案．如图，由图知选项A，D不正确；FO＋OE＝FE，故选项C不正确；EF＋OE＝OE＋EF＝OF，故选项B正确，故选B.4．下列命题中，真命题的个数为()①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]要选出正确答案，需对每个命题进行判断．若a与b不共线，则由向量加法和减法的几何意义知a＋b与a－b分别是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线，因此a＋b与a－b不共线，与已知条件矛盾，从而a与b必为共线向量，故命题①正确；由不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件可知命题②与③都正确；由||a|－|b||＝|a|＋|b|可得|a|－|b|＝|a|＋|b|或|a|－|b|＝－|a|－|b|，所以|b|＝0或|a|＝0，从而b＝0或a＝0，即说明b不一定为零向量，故命题④不正确，故选C.5．如图所示，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于()A．0B．BEC．ADD．CF[答案]D[解析]如图所示，在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝CE，∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF＝CF.故选D.6．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|AB－BC|的值是()A．0B．1C．D．2[答案]C[解析]由|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，得△ABC为正三角形，则AB－BC＝AB＋CB，如图所示，过点B作BD＝CB，则AB－BC＝AD，所以|AB－BC|＝|AD|＝.二、填空题7．已知|a|＝|b|＝|a－b|，作OA＝a，OB＝a＋b，则∠AOB＝________.[答案]30°[解析]如图所示，由|a|＝|b|＝|a－b|，易知△ABC为正三角形，故∠AOB＝30°.8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＝________.[答案]CD[解析]BA－BC－OA＋OD＝CA－OA＋OD＝CA＋AO＋OD＝CO＋OD＝CD.三、解答题9．如图，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b.(1)用a，b表示AC，DB；(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|；(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？[解析](1)AC＝AB＋AD＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.(2)由(1)知，a＋b＝AC，a－b＝DB，a＋b与a－b所在直线垂直，即AC⊥BD，又 四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|.(3)|a＋b|＝|a－b|，即|AC|＝|BD|. 矩形的对角线相等，∴当a与b垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能．因为▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了.一、选择题1．在平面上有不共线的A、B、C三点，设m＝AB＋BC，n＝AB－BC，若m与n长度恰好相等，则有()A．△ABC必为正三角形B．△ABC必为直角三角形且∠B为直角C．△ABC必为直角三角形且∠C为直角D．△ABC必为等腰直角三角形[答案]B[解析]m＝AB＋BC＝AC，n＝AB－BC＝AB＋CB，画出示意图，由三角形法则及三角形性质可得△ABC为直角三角形，且∠B为直角．2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CF＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0[答案]A[解析] AD＝AB，BE＝BC，CF＝CA，∴AD＋BE＋CF＝(AB＋BC＋CA)＝(AC＋CA)＝0.故选A.二、填空题3.如图，在▱ABCD中，(1)AB＋________＝AC；(2)AC＋CD＋________＝AO；(3)AB＋AD＋CD＝________；(4)________＋BA＋DA＝0.[答案](1)AD或BC(2)DO或OB(3)AD(4)AC[解析](1) AC－AB＝BC＝AD，∴AB＋BC＝AB＋AD...
