安徽建筑工业学院⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..高数下册辅导材料------徐松林版⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1第七章微分方程§1微分方程的基本概念一.基本概念:1.微分方程;凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．2.常微分方程;如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．3.偏微分方程;如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．4.微分方程的阶;微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．5.微分方程的解;将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线．二．例题分析P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程:例1．曲线在点处(,)xy的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为()yfx,则由题意得:2'yx.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．例2．曲线上点(,)Pxy处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.解：设该曲线的方程为()yfx,且设曲线在点P处的法线记为L，则其斜率为1/'y；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为M(,)XY，进而得法线Ｌ的方程为：()YykXx且1/'ky即()/'YyXxy；则易求得：'QXxyy且/'AYyxy．．．．．．．．①由题意知点Ａ为线段PQ的中点知：2QPAXXX且2QPAYYY．．．．．．．．．．②由上述①，②两式最终可得：2'xyy--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§2．可分离变量的一阶微分方程（注：它是一类最易求解的微分方程！）一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：(,,')0Fxyy对称形式：(,)(,)0PxydxQxydy二．何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：(,)(,)0PxydxQxydy，可等价地转化为()()0fxdxgydy的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量x，dx与因变量y，dy的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解．§３．一阶齐次微分方程（注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！）一．一阶齐次微分方程的定义：安徽建筑工业学院⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..高数下册辅导材料------徐松林版⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2在某个一阶微分方程(,)dyfxydx中，如果方程右边的函数(,)fxy可写成yx的函数式即(,)()yfxyx，也即原方程形如：()dyydxx，则称此微分方程为一阶齐次微分方程．二．一阶齐次微分方程的基本解法：转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说，第一步，作变量代换令yux，则,dyduyuxuxdxdx，代入原一阶齐次微分方程()dyydxx得：()duuxudx；第二步，进行变量u与x的左右分离得：()dudxuux；第三步，两边求不定积分即可得其解．．．．三．例题分析参见Ｐ271．例１．又如．Ｐ276．１．（4）．求方程332()30xydxxydy的通解．解：原方程可转化为332223dyxyxydxxyyx，作变量代换令yux，则,dyduyuxuxdxdx；则原方程转化为：213()duuxudxu（注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！）紧接着就进行自变量与因变量的左右分离212duxudxu212ududxux．最后两边作不定积分即可．．．§４．一阶线性微分方程一．一阶线性微分方程的定义：称形如：()()dyPxyQxdx的方程为一阶线性微分方程．（注：因为方程的左边对未知函数y及其导数'y来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）（i）.当()0Qx时，则称()0dyPxydx为一阶线性齐次微分方程．（ii）.当()0Qx时，则称()()dyPxyQxdx为一阶线性非齐次微分方程．二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）１．所谓的＂常数...
