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安徽建筑工业学院⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..高数下册辅导材料------徐松林版⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1第七章微分方程§1微分方程的基本概念一.基本概念:1.微分方程;凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程.2.常微分方程;如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称此类方程为常微分方程.3.偏微分方程;如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称此类方程为偏微分方程.4.微分方程的阶;微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,就称为此微分方程的阶.5.微分方程的解;将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式,那么就称此已知函数为此微分方程的解.6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等,则这样的解就称为此微分方程的通解.7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图象是一条平面曲线,称此曲线为微分方程的积分曲线.二.例题分析P263.5.写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程:例1.曲线在点处(,)xy的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解:设该曲线的方程为()yfx,则由题意得:2'yx.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程.例2.曲线上点(,)Pxy处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.解:设该曲线的方程为()yfx,且设曲线在点P处的法线记为L,则其斜率为1/'y;设法线L与Y轴的交点为点A,再设法线L上任意一点M的坐标为M(,)XY,进而得法线L的方程为:()YykXx且1/'ky即()/'YyXxy;则易求得:'QXxyy且/'AYyxy........①由题意知点A为线段PQ的中点知:2QPAXXX且2QPAYYY..........②由上述①,②两式最终可得:2'xyy--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程.§2.可分离变量的一阶微分方程(注:它是一类最易求解的微分方程!)一.一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式:一般形式:(,,')0Fxyy对称形式:(,)(,)0PxydxQxydy二.何为可分离变量的一阶微分方程?如果某一阶微分方程由对称式:(,)(,)0PxydxQxydy,可等价地转化为()()0fxdxgydy的形式,则称原方程为可分离变量的微分方程.三.可分离变量的一阶微分方程的基本解法:(可由如下两步来完成求解过程)第一步:进行自变量x,dx与因变量y,dy的左右分离;第二步:方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解.§3.一阶齐次微分方程(注:它是一类经变量代换之后,可转化为"变量左右分离的一阶微分方程!)一.一阶齐次微分方程的定义:安徽建筑工业学院⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..高数下册辅导材料------徐松林版⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2在某个一阶微分方程(,)dyfxydx中,如果方程右边的函数(,)fxy可写成yx的函数式即(,)()yfxyx,也即原方程形如:()dyydxx,则称此微分方程为一阶齐次微分方程.二.一阶齐次微分方程的基本解法:转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程;然后再按变量分离方程的解法去求解即可!具体地说,第一步,作变量代换令yux,则,dyduyuxuxdxdx,代入原一阶齐次微分方程()dyydxx得:()duuxudx;第二步,进行变量u与x的左右分离得:()dudxuux;第三步,两边求不定积分即可得其解....三.例题分析参见P271.例1.又如.P276.1.(4).求方程332()30xydxxydy的通解.解:原方程可转化为332223dyxyxydxxyyx,作变量代换令yux,则,dyduyuxuxdxdx;则原方程转化为:213()duuxudxu(注意:齐次方程在进行变量代换之后,一定是可以进行变量分离的!)紧接着就进行自变量与因变量的左右分离212duxudxu212ududxux.最后两边作不定积分即可...§4.一阶线性微分方程一.一阶线性微分方程的定义:称形如:()()dyPxyQxdx的方程为一阶线性微分方程.(注:因为方程的左边对未知函数y及其导数'y来说是一次线性组合的形式,所以称上述方程为"线性"方程!)(i).当()0Qx时,则称()0dyPxydx为一阶线性齐次微分方程.(ii).当()0Qx时,则称()()dyPxyQxdx为一阶线性非齐次微分方程.二.一阶线性微分方程的解法(常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法)1.所谓的"常数...

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