实用标准文案文档第一章基本概念1.5数环和数域定义1设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab都在S内，那么称S是一个数环。定义2设F是一个数环。如果（i）F是一个不等于零的数；（ii）如果a、bF,，并且b0，aFb，那么就称F是一个数域。定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算定义1数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式12012nnaaxaxax，是非负整数而012,,,naaaa都是R中的数。项式1中，0a叫作零次项或常数项，iiax叫作一次项，一般，ia叫作i次项的系数。定义2若是数环R上两个一元多项式fx和gx有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说fx和gx就说是相等fxgx定义3nnax叫作多项式2012nnaaxaxax，0na的最高次项，非负整数n叫作多项式2012nnaaxaxax，0na的次数。定理2.1.1设fx和gx是数环R上两个多项式，并且0fx，0gx，那么i当0fxgx时，000max,;fxgxfxgxii000fxgxfxgx。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1）加法交换律：fxgxgxfx；实用标准文案文档2）加法结合律：fxgxhxfxgxhx；3）乘法交换律：fxgxgxfx；4）乘法结合律：fxgxhxfxgxhx；5）乘法对加法的分配律：fxgxhxfxgxfxhx。推论2.1.10fxgx当且仅当fx和gx中至少有一个是零多项式推论2.1.2若fxgxfxhx，且0fx，那么gxhx2.2多项式的整除性设F是一个数域。fx是F上一元多项式环定义令fx和gx是数域F上多项式环fx的两个多项式。如果存在fx的多项式hx，使gxfxhx，我们说，fx整除（能除尽）gx。多项式整除的一些基本性质：1）如果fxgx，gxhx，那么fxhx2）如果hxfx，hxgx，那么hxfxgx3）如果hxfx，那么对于fx中的任意多项式gx来说，hxfxgx4）果,1,2,3,,,ihxfxit那么对于fx中任意1,2,3,,,igxit1212iihxfxgxfxgxfxgx5）次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。6）每一个多项式fx都能被cfx整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。7）如果fxgx，gxfx，那么fxcgx，这里c是F中的一个不等于零的数设fx，gx是两个任意的多项式，并且0gx。那么fx可以写成以下形式fxgxqxrx，这里0rx，或者rx的次数小于gx的次数。实用标准文案文档定理2.2.1设fx和gx是fx的任意两个多项式，并且0gx。那么在fx中可以找到多项式qx和rx，使（3）fxgxqxrx这里或者0rx，或者rx的次数小于gx的次数，满足以上条件的多项式qxrx和只有一对。设数域F含有数域F而fx和gx是fx的两个多项式，如果在fx里gx不能整除fx，那么在Fx里gx也不能整除fx。1）定义1假定hx是fx和gx的任一公因式，那么由32112111,,kkkkkkkkkkrxrxqxrxrxrxqxrxrxrxqx中的第一个等式，hx也一定能整除1rx。同理，由第二个等式，hx也一定能整除2rx。如此逐步推下去，最后得出hx能整除krx，这样，krx的确是fx和gx的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。定义2设以gxxa除1110nnnnfxaxaxaxa时，所得的商121210nnnnqxbxbxbxb及余式0rxc，比较fxgxqxrx两端同次幂的系数得1nnba，211nnnbaab，⋯011baab，000caab，这种计算可以排成以下格式1201120112300))))nnnnnnnnnaaaaaaababababbabbbc用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。2.3多项式的最大公因式设F是一个数域。fx是F上一元多项式环实用标准文案文档定义1令设fx和gx是fx的任意两个多项式，若是fx的一个多项式hx同时整除fx和gx，那么hx叫作fx与gx的一个公因式。定义2设dx是多项式fx与gx的一个公因式。若是dx能被fx与gx的每一个公因式整除，那么dx叫作fx与gx的一个最大公因式。定理2.3.1fx的任意两个多项式fx与gx一定有最大公因式。除一个零次因式外，fx与gx的最大公因式是唯一确定的，这就说，若dx是fx与gx的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与dx的乘积cdx也是fx与gx的一个最大公因式；而且当fx与gx不完全为零时，只有这样的乘积才是fx与gx的最大公因式。从数域F过度渡到数域F时，fx与gx的最大公因式本质上没有改变。定理2.3.2若dx是fx的多项式fx与gx的最大公因式，那么在fx里可以求得多项式uxx和v，使以下等式成立：（2）fxuxgxxdxv=。注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令,fxxgxx=+1，那么以下等...
