实用标准文案文档第一章基本概念1.5数环和数域定义1设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说,a+b,a-b,ab都在S内,那么称S是一个数环。定义2设F是一个数环。如果(i)F是一个不等于零的数;(ii)如果a、bF,,并且b0,aFb,那么就称F是一个数域。定理任何数域都包含有理数域,有理数域是最小的数域。第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算定义1数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式12012nnaaxaxax,是非负整数而012,,,naaaa都是R中的数。项式1中,0a叫作零次项或常数项,iiax叫作一次项,一般,ia叫作i次项的系数。定义2若是数环R上两个一元多项式fx和gx有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么就说fx和gx就说是相等fxgx定义3nnax叫作多项式2012nnaaxaxax,0na的最高次项,非负整数n叫作多项式2012nnaaxaxax,0na的次数。定理2.1.1设fx和gx是数环R上两个多项式,并且0fx,0gx,那么i当0fxgx时,000max,;fxgxfxgxii000fxgxfxgx。多项式的加法和乘法满足以下运算规则:1)加法交换律:fxgxgxfx;实用标准文案文档2)加法结合律:fxgxhxfxgxhx;3)乘法交换律:fxgxgxfx;4)乘法结合律:fxgxhxfxgxhx;5)乘法对加法的分配律:fxgxhxfxgxfxhx。推论2.1.10fxgx当且仅当fx和gx中至少有一个是零多项式推论2.1.2若fxgxfxhx,且0fx,那么gxhx2.2多项式的整除性设F是一个数域。fx是F上一元多项式环定义令fx和gx是数域F上多项式环fx的两个多项式。如果存在fx的多项式hx,使gxfxhx,我们说,fx整除(能除尽)gx。多项式整除的一些基本性质:1)如果fxgx,gxhx,那么fxhx2)如果hxfx,hxgx,那么hxfxgx3)如果hxfx,那么对于fx中的任意多项式gx来说,hxfxgx4)果,1,2,3,,,ihxfxit那么对于fx中任意1,2,3,,,igxit1212iihxfxgxfxgxfxgx5)次多项式,也就是F中不等于零的数,整除任意多项式。6)每一个多项式fx都能被cfx整除,这里c是F中任意一个不等于零的数。7)如果fxgx,gxfx,那么fxcgx,这里c是F中的一个不等于零的数设fx,gx是两个任意的多项式,并且0gx。那么fx可以写成以下形式fxgxqxrx,这里0rx,或者rx的次数小于gx的次数。实用标准文案文档定理2.2.1设fx和gx是fx的任意两个多项式,并且0gx。那么在fx中可以找到多项式qx和rx,使(3)fxgxqxrx这里或者0rx,或者rx的次数小于gx的次数,满足以上条件的多项式qxrx和只有一对。设数域F含有数域F而fx和gx是fx的两个多项式,如果在fx里gx不能整除fx,那么在Fx里gx也不能整除fx。1)定义1假定hx是fx和gx的任一公因式,那么由32112111,,kkkkkkkkkkrxrxqxrxrxrxqxrxrxrxqx中的第一个等式,hx也一定能整除1rx。同理,由第二个等式,hx也一定能整除2rx。如此逐步推下去,最后得出hx能整除krx,这样,krx的确是fx和gx的一个最大公因式,这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。定义2设以gxxa除1110nnnnfxaxaxaxa时,所得的商121210nnnnqxbxbxbxb及余式0rxc,比较fxgxqxrx两端同次幂的系数得1nnba,211nnnbaab,⋯011baab,000caab,这种计算可以排成以下格式1201120112300))))nnnnnnnnnaaaaaaababababbabbbc用这种方法求商和余式(的系数)称为综合除法。2.3多项式的最大公因式设F是一个数域。fx是F上一元多项式环实用标准文案文档定义1令设fx和gx是fx的任意两个多项式,若是fx的一个多项式hx同时整除fx和gx,那么hx叫作fx与gx的一个公因式。定义2设dx是多项式fx与gx的一个公因式。若是dx能被fx与gx的每一个公因式整除,那么dx叫作fx与gx的一个最大公因式。定理2.3.1fx的任意两个多项式fx与gx一定有最大公因式。除一个零次因式外,fx与gx的最大公因式是唯一确定的,这就说,若dx是fx与gx的一个最大公因式,那么数域F的任何一个不为零的数c与dx的乘积cdx也是fx与gx的一个最大公因式;而且当fx与gx不完全为零时,只有这样的乘积才是fx与gx的最大公因式。从数域F过度渡到数域F时,fx与gx的最大公因式本质上没有改变。定理2.3.2若dx是fx的多项式fx与gx的最大公因式,那么在fx里可以求得多项式uxx和v,使以下等式成立:(2)fxuxgxxdxv=。注意:定理2.3.2的逆命题不成立。例如,令,fxxgxx=+1,那么以下等...