高等数学_大一_上学期知识要点VIP免费

实用标准文档高数总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；①、定理若lim(),lim()fxAgxB,则(加减运算)lim[()()]fxgxAB(乘法运算)lim()()fxgxAB(除法运算)()0,lim()fxABgxB若推论1:lim(),lim[()][lim()]nnnfxAfxfxA(n为正整数)推论2:lim()[lim()]cfxcfx②结论1:,lim,,mmmmnnxnnamnbaxaxaxamnbxbxbxbmn当当当00101110110结论2:()fx是基本初等函数，其定义区间为D，若0xD，则00lim()()xxfxfx2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；①定义1:若0lim()0xxfx或（lim()0xfx）则称()fx是当0xx(或x)时的无穷小.定义2:,是自变量在同一变化过程中的无穷小:若lim1,则称与是等价无穷小,记为.②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.实用标准文档推论1:常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2(等价无穷小替换定理)设~,~,且lim存在,则limlimlimlim.(因式替换原则)常用等价无穷小:sin~,tan~,arcsin~,arctan~,xxxxxxxx2121cos~,1~,11~,ln1~,xxxexxxxx1~ln,xaxa0x3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；①准则I(夹逼准则)若数列,,nnnxyz(n=1,2,⋯)满足下列条件:(1)(,,,)nnnyxzn123;(2)limlimnnnnyza,则数列nx的极限存在,且limnnxa.②准则II:单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。0sinlim1xxx10lim(1)xxxe1lim(1)xxex5、利用洛必达法则。未定式为0,,,0,00类型.实用标准文档①定理(xa时的00型):设(1)lim()lim()0xaxafxFx;(2)在某(,)Ua内,()fx及()Fx都存在且()0Fx;()(3)lim()xafxFx存在(或为无穷大)()()limlim()()xaxafxfxFxFx则，二、求导数和微分：1.定义①导数：函数()yfx在0xx处的导数：0000000()()()()()limlim.xxxfxfxfxxfxfxxxx函数()yfx在区间I上的导函数：0()()()lim.xfxxfxdyfxxdx②函数的微分：().dyfxdx2.导数运算法则（须记住P140导数公式）①函数和差积商求导法则：函数()ux、()vx可导，则：实用标准文档(()())()()uxvxuxvx(()())()()()().uxvxuxvxuxvx2(()0)uuvuvvxvv②反函数求导法则：若()xy的导数存在且()0y，则反函数()yfx的导数也存在且为1().()fxy③复合函数求导法则(链式法则)：()ux可导，()yfu可导，则(())yfx可导，且.dydydudxdudx④隐函数求导法则:⑤参数方程求导法则:(),()xtyt若()0t则()()dytdxt.实用标准文档22()()()1()tdydddytdxdxdxdxdtdt3.微分运算法则三、求积分：1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。1()lim()nbiiaifxdxfx性质1：()0,()()aababafxdxfxdxfxdx性质2：[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx性质3：()(),().bbaakfxdxkfxdxk是常数性质4：()()()ccbbaafxdxfxdxfxdx(去绝对值,分段函数积分)实用标准文档性质5：badxba2.计算公式：P186基本积分表；P203常用积分公式；①第一换元法(凑微分)：()()(())()(())()()uxuxfxxdxfxdxfudu221arcsinarccos,1111(),2.dxdxdxxdxddxdxxxx②第二换元法：实用标准文档()2.()(())()xtfxdxfttdt③分部积分法：3.()()()()()()uxvxdxuxvxuxvxdxudvuvvdu)(反对幂指三”，前,后uv循环解出;递推公式分部化简;实用标准文档④有理函数积分：混合法(赋值法+特殊值法)确定系数⑤牛顿莱布尼茨公式：4.()()()[()](()())bbaafxdxFbFaFxFxfx其中⑥定积分换元法：5.()(())()(())bafxdxfttdtab＝()=（换元换限，配元(凑微)不换限）⑦定积分分部积分法：6.()()()()()()bbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx⑧结论(偶倍奇零)：实用标准文档①若函数()fx为偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx。②若函数()fx为奇函数，则()0aafxdx注意:1.利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2.定积分几何意义求一些特殊的积分(如22204aaaxdx)⑨变限积分求导四、微分和积分的应用1.判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形①判断单调性：第一步：找使()0fx的点和不可导点。第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论()fx的正负，()0,fx函数递增，()0,fx函数递减。②判断凹凸性：第一步：找使()0fx的点和不可导点。实用标准文档第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论()fx的正负，()0fx，是凹区间，()0fx，是凸区间。（...