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第一章函数极限连续问题1.上岸点的问题有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1）222xyR内游泳，当他位于点（,02R）时，听到紧急集合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士兵水中游泳的速度为1v，陆地上跑步的速度为2v，求赶回营房所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。图1-1解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的位置数字化，根据本题特点可设(cos,sin)MRR其中为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()tf的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()tf的定义域为0。该士兵在水中游泳所花的时间为22211111(cos)sin54cos22PMRRtRRvvv而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：①当03时，有22254cosMARtvv；②当3时，要先跑一段圆弧MB，再跑一段且线段BA，所以2221()(3)3RtMBBAvv。综上所述，可得121254cos54cos,02354cos(3),233RRvvtRRvv问题2外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后BAOxyPMM他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。解：设1()ft为将x美元兑换成的加拿大元数，2()ft为将x加拿大元兑换成的美元数，则1()12%1.12,0ftxxxx2()12%0.88,0ftxxxx而21(())0.880.120.9856,fftxxx故1()ft，2()ft不互为反函数。思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？（14.4美元）问题3黄山旅游问题一个旅游者，某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。证明：设两个旅馆之间的路程为L，以()ft表示在时刻([7,19])t该旅游者离开山脚下的旅馆的路程，则可知()ft是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)0f，(19)fL。以()gt表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知()gt是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)fL，(19)0f。于是原问题可转化为：证明存在[7,19]，使()()fg。作辅助函数()()()tftgt，则()t在区间[7,19]上连续，且有2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0fgfgL，根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在[7,19]，使()0。就得到了所需要证明的结论。问题4利润与销量之间的函数关系收音机每台售价90元，成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购，军队凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如，某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2（元），商行可以按88元/台的价格购进300台），但最低价为75元/台。1）把每台的实际售价p表示为订购量x的函数；2）把利润P表示成订购量x的函数；3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利多少？解：1）当100x时售价为90元/台。现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台，90-75=15，150.01=1500所以，当订购量超过1500+100台时，每台售价为75元。当订购量在100~1600时，售价为90-（x-100）*0.01，因而实际售价p与订购量之间的函数关系为90,10090(100)0.01,100160075,1600xpxxx2）每台利润是实际售价p与成本之差P=（p-60）x3）由1）先计算出p=90-（1000-100）*0.01=81。再有2）可知P=（81-60）*1000=21000（元）问题5Fibonacci数列与黄金分割问题“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对?”解：这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，L）在1202年所著“算法之书”（又译《算盘书》（Liberabaci））中的一个题目。他是这样解答的：若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有：从上图可知，六...