第一章函数极限连续问题1.上岸点的问题有一个士兵P,在一个半径为R的圆形游泳池(图1—1)222xyR内游泳,当他位于点(,02R)时,听到紧急集合号,于是得马上赶回位于A=(2R,0)处的营房去,设该士兵水中游泳的速度为1v,陆地上跑步的速度为2v,求赶回营房所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。图1-1解:这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系,所以一定要先把上岸点M的位置数字化,根据本题特点可设(cos,sin)MRR其中为M的周向坐标(即极坐标系中的极角),于是本题就成为了求函数关系()tf的问题。由对称性,我们可只讨论在上半圆周上岸的情况,即先确定函数()tf的定义域为0。该士兵在水中游泳所花的时间为22211111(cos)sin54cos22PMRRtRRvvv而在陆地上跑步所需的时间,则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论:①当03时,有22254cosMARtvv;②当3时,要先跑一段圆弧MB,再跑一段且线段BA,所以2221()(3)3RtMBBAvv。综上所述,可得121254cos54cos,02354cos(3),233RRvvtRRvv问题2外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假,他把美元兑换成加拿大元时,币面数值增加12%,回国后BAOxyPMM他发现把加拿大元兑换成美元时,币面数值减少12%。把这两个函数表示出来,并证明这两个函数不互为反函数,即经过这么一来一回的兑换后,他亏损了一些钱。解:设1()ft为将x美元兑换成的加拿大元数,2()ft为将x加拿大元兑换成的美元数,则1()12%1.12,0ftxxxx2()12%0.88,0ftxxxx而21(())0.880.120.9856,fftxxx故1()ft,2()ft不互为反函数。思考题:设一美国人准备到加拿大去度假,他把1000美元兑换成加拿大元,但因未能去成,于是又将加拿大元兑换成了美元,问题亏损了多少钱?(14.4美元)问题3黄山旅游问题一个旅游者,某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆,沿着一条上山的路,在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟,他从山顶沿原路下山,在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点,旅游者在两天的同一时刻都经过此点。证明:设两个旅馆之间的路程为L,以()ft表示在时刻([7,19])t该旅游者离开山脚下的旅馆的路程,则可知()ft是区间[7,19]上的连续函数,且有(7)0f,(19)fL。以()gt表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程,则可知()gt是区间[7,19]上的连续函数,且有(7)fL,(19)0f。于是原问题可转化为:证明存在[7,19],使()()fg。作辅助函数()()()tftgt,则()t在区间[7,19]上连续,且有2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0fgfgL,根据闭区间上连续函数的零值定理可知,一定存在[7,19],使()0。就得到了所需要证明的结论。问题4利润与销量之间的函数关系收音机每台售价90元,成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购,军队凡是订购量超过100台以上的,每多订购一台,售价就降低1分(例如,某商行订购了300台,订购量比100台多200台,于是每台就降价0.01200=2(元),商行可以按88元/台的价格购进300台),但最低价为75元/台。1)把每台的实际售价p表示为订购量x的函数;2)把利润P表示成订购量x的函数;3)当一商行订购了1000台时,厂家可获利多少?解:1)当100x时售价为90元/台。现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台,90-75=15,150.01=1500所以,当订购量超过1500+100台时,每台售价为75元。当订购量在100~1600时,售价为90-(x-100)*0.01,因而实际售价p与订购量之间的函数关系为90,10090(100)0.01,100160075,1600xpxxx2)每台利润是实际售价p与成本之差P=(p-60)x3)由1)先计算出p=90-(1000-100)*0.01=81。再有2)可知P=(81-60)*1000=21000(元)问题5Fibonacci数列与黄金分割问题“有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄,且均无死亡,试问一年后共有小兔几对?”解:这是意大利数学家斐波那契(Fibonacci,L)在1202年所著“算法之书”(又译《算盘书》(Liberabaci))中的一个题目。他是这样解答的:若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子(简称仔兔和成兔),则根据题设有:从上图可知,六...