专题3.1复杂数列的通项公式求解问题一．方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为na形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二．解题策略类型一数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【答案】12【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1jAj的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j数列组成的数列),2,1(iAij，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ija进行表示，其中i代表行，j代表列.例如：34a表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列na，若2015na，则n__________．【答案】1030类型二点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),nnAyAyAnyLL顺次为直线11412yx上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),nnBxBxBxLL顺次为x轴上的点，其中1(01)xaa.对于任意*nN，点1,,nnnBAB构成以nA为顶点的等腰三角形.则数列{}nx的通项公式为____________.【答案】,(1,(nnanxnan为偶数）为奇数）【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列nA的通项公式，求点列nB的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A，2212,2A，3313,2A，⋯，1,(1)2nnnAn，⋯，其中n是正整数.连接12AA的直线与x轴交于点11,0Bx，连接23AA的直线与x轴交于点22,0Bx，⋯，连接1nnAA的直线与x轴交于点,0nnBx，⋯.则数列nx的通项公式为___________.【解析】直线1nnAA的斜率为11121(1)(1)3(1)222nnnnnnk，所以111(1)3(1):()22nnnnnnAAyxn，23nxn.【答案】23nxn类型三函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数fx是定义在0,上的单调函数，且对于任意正数,xy有fxyfxfy，已知112f，若一个各项均为正数的数列na满足*11nnnfSfafanN，其中nS是数列na的前n项和，则数列na中第18项18a（）A.136B.9C.18D.36【答案】C【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n项和之间的关系以及公式12nnnaSSn的应用，属于难题.已知nS求na的一般步骤：（1）当1n时，由11aS求1a的值；（2）当2n时，由1nnnaSS，求得na的表达式；（3）检验1a的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示na；（4）写出na的完整表达式.【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知112Fxfx是R上的奇函数，*12101nnafffffnNnnnL，则数列na的通项公式为（）．A.nanB.2nanC.1nanD.223nann【解析】 112Fxfx是奇函数，∴11022FF，令12x，1112Ff，令12x，1012Ff，∴012ff，∴1012aff，令112xn，∴11112Ffnn，令112xn，∴11112nFfnn， 1111022FFnn，∴112nffnn，同理可得222nffnn，332nffnn，∴1221(nnannNn），故选C【答案】C类型四由复杂...
