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高考数学玩转压轴题专题1复杂数列的通项公式求解问题VIP免费

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专题3.1复杂数列的通项公式求解问题一.方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数表)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为na形式的数列通项公式问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析.二.解题策略类型一数阵(数表)中涉及到的数列通项公式问题【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在图中出现的次数为____.【答案】12【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列,先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1jAj的通项公式,再把第一行的数当成首项,再次根据等差数列这一性质求出第j数列组成的数列),2,1(iAij,最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标ija进行表示,其中i代表行,j代表列.例如:34a表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列.【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列na,若2015na,则n__________.【答案】1030类型二点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),nnAyAyAnyLL顺次为直线11412yx上的点,点1122(,0),(,0),,(,0),nnBxBxBxLL顺次为x轴上的点,其中1(01)xaa.对于任意*nN,点1,,nnnBAB构成以nA为顶点的等腰三角形.则数列{}nx的通项公式为____________.【答案】,(1,(nnanxnan为偶数)为奇数)【指点迷津】对于点列问题,要根据图像上点与点之间的关系,以及平面几何知识加以分析,找出关系式即可,本题是直线上的点列,已知点列nA的通项公式,求点列nB的通项公式,并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中,已知点列111,2A,2212,2A,3313,2A,⋯,1,(1)2nnnAn,⋯,其中n是正整数.连接12AA的直线与x轴交于点11,0Bx,连接23AA的直线与x轴交于点22,0Bx,⋯,连接1nnAA的直线与x轴交于点,0nnBx,⋯.则数列nx的通项公式为___________.【解析】直线1nnAA的斜率为11121(1)(1)3(1)222nnnnnnk,所以111(1)3(1):()22nnnnnnAAyxn,23nxn.【答案】23nxn类型三函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数fx是定义在0,上的单调函数,且对于任意正数,xy有fxyfxfy,已知112f,若一个各项均为正数的数列na满足*11nnnfSfafanN,其中nS是数列na的前n项和,则数列na中第18项18a()A.136B.9C.18D.36【答案】C【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n项和之间的关系以及公式12nnnaSSn的应用,属于难题.已知nS求na的一般步骤:(1)当1n时,由11aS求1a的值;(2)当2n时,由1nnnaSS,求得na的表达式;(3)检验1a的值是否满足(2)中的表达式,若不满足则分段表示na;(4)写出na的完整表达式.【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知112Fxfx是R上的奇函数,*12101nnafffffnNnnnL,则数列na的通项公式为().A.nanB.2nanC.1nanD.223nann【解析】 112Fxfx是奇函数,∴11022FF,令12x,1112Ff,令12x,1012Ff,∴012ff,∴1012aff,令112xn,∴11112Ffnn,令112xn,∴11112nFfnn, 1111022FFnn,∴112nffnn,同理可得222nffnn,332nffnn,∴1221(nnannNn),故选C【答案】C类型四由复杂...

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