专题2.15超越方程反解难巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623xxx，22ln22xxxx方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数lnfxaxxx在2xe处取得极小值．（1）求实数a的值；（2）设22lnFxxxxfx，其导函数为Fx，若Fx的图象交x轴于两点12,0,,0CxDx且12xx，设线段CD的中点为,0Ns，试问s是否为0Fx的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据20fe，解得1a，最后列表验证（2）即研究1202xxF是否成立，因为121212412xxFxxxx，利用21112ln0xxx，22222ln0xxx得1212122lnln1xxxxxx，所以121212122lnln42xxxxFxxxx=0，转化为21ln01ttt．其中12xtx，最后利用导数研究函数21ln1tuttt单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数22lnFxxxx． 函数Fx图象与x轴交于两个不同的点12,0,,0CxDx，（12xx），∴21112ln0xxx，22222ln0xxx．两式相减得1212122lnln1xxxxxx221Fxxx．1212121212122lnln4412xxxxFxxxxxxxx．下解1212122lnln40xxxxxx．即1212122ln0xxxxxx．令12xtx， 120xx，∴01t，即21ln01ttt．令21ln1tuttt，22211411tuttttt．又01t，∴0ut，∴ut在0,1上是増函数，则10utu，从而知1212122lnln40xxxxxx，故1202xxF，即0Fs不成立．故s不是0Fx的根．例2．设函数21ln2fxxaxbx（1）当3,2ab时，求函数fx的单调区间；（2）令21(03)2aFxfxaxbxxx，其图象上任意一点00,Pxy处切线的斜率12k恒成立，求实数a的取值范围．（3）当0,1ab时，方程fxmx在区间21,e内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【思路引导】（1）先求导数'fx然后在函数的定义域内解不等式'0fx和'0,'0fxfx的区间为单调增区间，'0fx的区间为单调减区间；（2）先构造函数Fx再由以其图象上任意一点00,Pxy为切点的切线的斜率12k恒成立，知导函数12k恒成立，再转化为200max12axx求解；（3）先把握fxmx有唯一实数解，转化为ln1xmx有唯一实数解，再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③令'0fx，解不等式得x的范围就是递增区间；令'0fx，解不等式得x的范围就是递减区间．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【同步训练】1．已知函数21e2xfxtx（Rt），且fx的导数为fx．（Ⅰ）若2Fxfxx是定义域内的增函数，求实数t的取值范围；（Ⅱ）若方程222fxfxxx有3个不同的实数根，求实数t的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需0fx，即2121e2xtxgx恒成立，求出mingx即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于227e2xtxx，研究函数227e2xhxxx的单调性，结合图象可得结果．令0hx，解得3x或1x．列表得：x,333,111,hx00hx增极大值减极小值增由表可知当3x时，hx取得极大值65e2；当1x时，hx取得极小值23e2．又当3x时，2702xx，2e0x，此时0hx．因此当3x时，650,e2hx；当31x时，2635e,e22hx；当1x时，23e,2hx，因此实数t的取值范围是650,e2．2．已知函数322ln3fxaxx的图象的一条切线为x轴．（1）求实数a的值；（2）令gxfxfx，若存在不...
