专题2.3平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量,,abcrrr满足2abrr，2abrr，,c>60acbrrrr，则cr的最大值等于（）A.4B.2C.2D.1【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在RtABC中，090A，点D是边BC上的动点，且3ABuuuv,4ACuuuv,(0,0)ADABACuuuvuuuvuuuv，则当取得最大值时，ADuuuv的值为（）A.72B.3C.125D.52【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量,abvv满足：1abvv，且12abvv，若cxaybvvv，其中0x，0y且2xy，则cv的最小值是__________．【答案】3【解析】1abQvv，且12abvv，当cxaybvvv时，222222cxaxyabybvvvvv，222xxyyxyxy，又0,0xy且22,12xyxyxy，当且仅当1xy时取“=”，2222213,2xycxycvv的最小值是3，故答案为3.3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,abcvvv，满足1,2,3abcvvv，01，若0bcvv，则1abcvvv的最大值为_________，最小值为__________．【答案】4613113【解析】设1,1nbcabcanvvvvvvvv，naannavvvvvv，即11nannvvvv，2222221121nbcbcbcvvvvvvv2224911318901，由二次函数性质可得，266136139,3,1114131313nnnannvvvvvv，1abcvvv，最大值为4，最小值为613113，故答案为4，613113.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量OA与OB的夹角为，PQOBtOQOAtOPOBOA,)1(,,1,20t在时取得最小值，当0105t时，夹角的取值范围为________________.【分析】将PQuuur表示为变量t的二次函数PQuuur1)cos42()cos45(2tt，转化为求二次函数的最小值问题，当cos45cos210t时，取最小值，由已知条件0105t，得关于夹角的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量ba,满足ba2=22ba，2||||ba，则ba与的夹角的最小值是．【答案】3【解析】由题意得2212ababrrrr，24abrr，整理得22422abababrrrrrr，即1abr11cos,22ababababrrrrrrrr，,3abrr，夹角的最小值为32、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）A.B.C.且λ≠2D.无法确定【答案】C【解析】 与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2OAOBuuuvuuuv，0OAOBuuuvuuuv，OPOAOBuuuvuuuvuuuv，且1，则OAuuuv在OPuuuv上的投影的取值范围()A.25-,15B.25,15C.5,15D.5-,15【答案】D当λ0时，0,x当222215λ8λ4482λ0521xλλλλ，故当λ1时，1x取得最小值为1，即1101xx，当λ0时，222215844825215x，即15x505x综上所述5(,15x故答案选D【指点迷津】由已知求得OAOP及OP，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。【举一反三】1、已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且0OAABACuuuvuuuvuuuvv，则向量CAuuuv在向量CBuuuv方向上的投影为()A.3B.3C.-3D.3【答案】B本题选择B选项.2、【2018福建省闽侯第六中学模拟】设1,2,0,OAOBOAOBOPOAOB，且1，则OA在OP上的投影的取值范围（）A.25,15B.25,15C.5,15D.5,15【答案】D法2：不妨设O为坐标原点，0,1A，2,0B，则2,Pu，也就是21,P.而OAuuuv在OPuuuv上的投影为22·41OAOPOPsuuuuuuvuuuv.令2241f，如果0，则2222258...
