五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键．技巧一利用定义，回归本质例1(1)已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且AF＝4，则PA＋PO的最小值是__________．答案213解析如图，可求A()－2，4，再求A()－2，4关于抛物线的准线x＝2的对称点A′()6，4，因此PA＋PO＝PA′＋PO，当O，P，A′三点共线时PA＋PO取到最小值．即()PA＋POmin＝A′O＝62＋42＝213.(2)如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．答案62解析由已知，得F1(－3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得AF1＋AF2＝4，AF2－AF1＝2a，AF21＋AF22＝12，解得a2＝2，故a＝2.所以双曲线C2的离心率e＝32＝62.跟踪演练1(1)已知椭圆x225＋y216＝1内有两点A(1,3)，B(3,0)，P为椭圆上一点，则PA＋PB的最大值为______．答案15解析由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B′，由椭圆的定义可知PB＝2a－PB′＝10－PB′，则PA＋PB＝10＋()PA－PB′，很明显，()PA－PB′max＝AB′＝()－3－12＋()0－32＝5，据此可得PA＋PB的最大值为10＋5＝15.(2)抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则PFPA的最小值为______．答案22解析设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知PF＝xP＋m，又PA2＝(xP＋m)2＋y2P＝(xP＋m)2＋4mxP，则PFPA2＝xp＋m2xp＋m2＋4mxP＝11＋4mxPxP＋m2≥11＋4mxP2xP·m2＝12(当且仅当xP＝m时取等号)，所以PFPA≥22，所以PFPA的最小值为22.技巧二设而不求，整体代换例2(1)已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是___________________________．答案6x－5y－28＝0解析由4x2＋5y2＝80得x220＋y216＝1，∴椭圆上顶点为B(0,4)，右焦点F(2,0)为△BMN的重心，故线段MN的中点为C(3，－2)．直线l的斜率存在，设为k， 点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，∴4x21＋5y21＝80，4x22＋5y22＝80，∴4(x1－x2)(x1＋x2)＋5(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴k＝y1－y2x1－x2＝－45·x1＋x2y1＋y2＝－45·6－4＝65.∴直线l的方程为y＋2＝65(x－3)，即6x－5y－28＝0.(2)设椭圆C：x24＋y23＝1与函数y＝tanx4的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．答案38，34解析由题意，得A1，A2两点关于原点对称，设A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)，则x214＋y213＝1，x204＋y203＝1，即y21＝34(4－x21)，y20＝34(4－x20)，两式相减整理，得y0＋y1x0＋x1＝－34×x0－x1y0－y1＝－34×1kPA1.因为直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，所以－2≤y0＋y1x0＋x1≤－1，所以－2≤－34·11PAk≤－1，解得38≤1PAk≤34跟踪演练2(2018·全国大联考江苏卷)已知椭圆M:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，过其左焦点F(－c,0)的直线交椭圆M于A，B两点，若弦AB的中点为D(－4,2)，则椭圆M的方程是________．答案x272＋y236＝1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式得x1＋x2＝－8，y1＋y2＝4.将A，B的坐标分别代入M的方程中得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减，化简得y1－y2x1－x2＝2b2a2，又因为A，B，D，F四点共线，所以2－0c－4＝y1－y2x1－x2＝2b2a2，所以a2＝b2(c－4)．由a2＝b2c－4，c2a2＝12，b2＋c2＝a2，解得a2＝72，b2＝36，c＝6，所以椭圆M的方程为x272＋y236＝1.技巧三根与系数的关系，化繁为简例3已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2...
