【成才之路】-学年高中数学2-31.3第1课时二项式定理同步测试新人教B版选修2-3一、选择题1．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝()A．1B．－1C．(－1)nD．3n[答案]C[解析]原式＝(1－2)n＝(－1)n.故选C.2．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于()A．(x－2)4B．x4C．(x＋1)4D．x4＋1[答案]B[解析]S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝[(x－1)＋1]4＝x4.故应选B.3.6的展开式的第三项为()A.B．－C．－D．[答案]A[解析]T3＝T2＋1＝C4·2＝.故应选A.4．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10[答案]B[解析]本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质．(1＋2x)5展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝2得T3＝40x2，∴x2的系数为40，故选B.5．(·湖南理，4)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20[答案]A[解析]展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝()5－r·(－2)rCx5－ryr.当r＝3时为T4＝()2(－2)3Cx2y3＝－20x2y3，故选A.6．在20的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项[答案]A[解析]Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－rC·x20－r＝r·C·2·x20－r.，∵系数为有理数．且0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.故选A.7．(＋)8的展开式中常数项为()A.B．C.D．105[答案]B[解析]Tr＋1＝C()8－r()r＝C·×x，当r＝4时，Tr＋1为常数，此时C×＝，故选B.二、填空题8．(·湖南理)(2－)6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)[答案]－160[解析]考查二项式定理特殊项的求法．由题意知，设常数项为Tr＋1，则Tr＋1＝C(2)6－r·(－)r＝C26－r(－1)rxx－，∴3－r＝0，∴r＝3，∴Tr＋1＝－160，注意常数项是x的次数为0.9．已知二项式(x－)n的展开式中含x3的项是第4项，则n的值为____________．[答案]9[解析]∵通项公式Tr＋1＝C(－1)rxn－2r，又∵第4项为含x3的项，∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.三、解答题10．(1)求(1＋2x)7的展开式中第四项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数及二项式系数．[解析](1)(1＋2x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C(2x)3＝280x3，∴(1＋2x)7的展开式中第四项的系数是280.(2)∵9的展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－rr＝(－1)r·Cx9－2r.令9－2r＝3，r＝3，∴x3的系数为(－1)3C＝－84.x3的二项式系数为C＝84.一、选择题1.7的展开式中倒数第三项的系数是()A．C·2B．C·26C．C·22D．C·22[答案]D[解析]7的展开式共有8项，倒数第三项为展开式中第6项，T6＝C(2x)2·5，系数为C·22.故选D.2．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207[答案]D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C＋C(－1)＝207.3．(·辽宁理，7)使(3x＋)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]由二项式的通项公式得Tr＋1＝C3n－rxn－r，若展开式中含有常数项，则n－r＝0，即n＝r，所以n最小值为5.选B.二、填空题4．若(a3＋4b2)n的展开式中有一项是ma12b8，则m、n的值分别为________．[答案]17920、8[解析]令Tk＋1＝C(a3)n－k(4b2)k＝ma12b8，则有，解得.5．(·景德镇市高二质检)设a＝sinxdx，则二项式(a－)6的展开式中的常数项等于________．[答案]－160[解析]a＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，二项式(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－)r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C＝－160.三、解答题6．已知n的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为563，求展开式中的常数项．[解析]T5＝C()n－424x－8＝16Cx，T3＝C()n－222x－4＝4Cx.由题意知，＝，解得n＝10.Tk＋1＝C()10－k2kx－2k＝2kCx，令5－＝0，解得k＝2，∴展开式中的常数项为C22＝180.7．求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数．[解析]解法1：(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8.∴Tr＋1＝C(x＋x2)r，则x5的系数由(x＋x2)r来决定．T′k＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k，令r＋k＝5，∵k≤r，∴；或；或.∴含x5的系数为CC＋CC＋CC＝504.解法2：(1＋x＋x2)＝[(1＋x)＋x2]8＝C(1＋x)8＋C(1＋x)7·x2＋C(1＋x)6·(x2)2＋C(1＋x)5·(x2)3＋…，则展开式中含x5的系数为CC＋CC＋CC＝504.8．在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．[解析]要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项公式即可．(1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1120.(2)解法1：展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.解法2：在8展开式中的倒数第3项就是8展开式中的第3项，T3＝C·8－2·(2x2)2＝112x2.
