2章章末一、选择题1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则OA·OB的值是()A．12B．－12C．3D．－3[解析]解法一：设AB方程为：x＝my＋1，A、B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由得：y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，又OA·OB＝x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝＋(－4)＝－3，故应选D.解法二：取AB过点F且垂直于x轴，这一情况来研究．∵F(1,0)，∴A(1,2)，B(1，－2)，OA＝(1,2)，OB＝(1，－2)，∴OA·OB＝1－4＝－3，故应选D.[点评]特值法是解选择题常用的重要方法，从特殊入手，解决一般性问题，不但快而且准，在今后的学习中，一定要重视特殊与一般的关系．2．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[分析]此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．[解析]延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，如图所示．则△APF1是等腰三角形，∴|PF1|＝|AP|，从而|AF2|＝|AP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.∵O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，∴|OQ|＝|AF2|＝a.∴Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆．故选A.[点评]看似凌乱繁多的条件，应用圆锥曲线的定义求解，可避免很多繁琐的计算，提高解题效率．二、填空题3．(·重庆文，13)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______.[答案]2[解析]本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系．设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)抛物线y2＝4x，焦点为(1,0)，准线为x＝－1.|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.4．已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，|AD|＝2，AC＝AB＋AD，AE＝AC，则点E的轨迹方程是__________．[答案]x2＋y2＝1(y≠0)[解析]如图设点E的坐标为(x，y)，∵AE＝AC＝(AB＋AD)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E为BD的中点，连结OE，又O为AB的中点，∴OE＝AD＝1.即动点E到定点O的距离为定值1，由圆的定义知，点E的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．[点评]平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E到定点O的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．三、解答题5．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．[解析]由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝＝·.∵|AB|＝2，∴＝1.①设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝，∵OC的斜率为，∴＝.代入①，得a＝，b＝.∴椭圆方程为＋y2＝1.6．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点．(1)证明：直线AB过定点；(2)求△AOB面积的最小值．[解析](1)证明：设直线AB的方程为x＝my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2).消去x得y2－2pmy－2pb＝0，则y1y2＝－2pb.又OA⊥OB.所以y1y2＝－x1x2.由方程组消去y，得x2－(2b＋2pm2)x＋b2＝0，则x1·x2＝b2.因此，b2＝2pb.所以b＝2p.所以直线AB恒过定点(2p,0)．(2)解：由(1)知：AB恒过定点M(2p,0)．所以S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM|(|y1|＋|y2|)≥p·2.又y＝2px1，y＝2px2，所以(y1y2)2＝4p2x1x2.又因为y1y2＝－x1x2，于是|y1y2|＝4p2.故SAOB的最小值为4p2.
