3．1.1两角和与差的余弦课时目标1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.能利用余弦公式进行三角函数式的化简与求值．两角和与差的余弦公式cos(α＋β)＝_______________________________________.cos(α－β)＝_______________________________________.一、填空题1．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝________.2．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得________．3．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.4．sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝________.5．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.6．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．7．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是______．8．已知8cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，且cos(α＋β)cosα≠0，则tan(α＋β)tanα＝________.9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为________．10．已知α、β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α－β的值为________．二、解答题11．已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值．12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．14．已知α、β、γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，“”“”“”“”求另外一些角的三角函数值，关键在于变式或变角，使目标角换成已知角．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2“”“”．给值求角问题，实际上也可转化为给值求值问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．第3章三角恒等变换§3.1两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦知识梳理cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ作业设计1．02．cosβ3.解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝.4.解析原式＝－cos73°sin43°＋sin73°sin47°＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°＝cos(43°＋17°)＝cos60°＝.5.解析由，∴，∴tanαtanβ＝.6.解析sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．sin2α＝，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝·＋·＝－，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.7.解析∵sin(π＋θ)＝－，∴sinθ＝，θ是第二象限角，∴cosθ＝－.∵sin＝－，∴cosφ＝－，φ是第三象限角，∴sinφ＝－.∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝×＋×＝.8.解析8cos(2α＋β)＋5cosβ＝8[cos(α＋β)cosα－sin(α＋β)sinβ]＋5[cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα]＝13cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＝0.∴3sin(α＋β)sinα＝13cos(α＋β)cosα.∴tan(α＋β)tanα＝.9．－解析由①2＋②2⇒2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1⇒cos(α－β)＝－.10．－解析∵α、β∈，∴cosα＝，sinβ＝，∵sinα0，∴<α－<π，0<－β<.∴sin(α－)＝＝.cos(－β)＝＝.∴cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)＝(－)×＋×＝.14．解由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴β－α＝±.∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝.
