§3定积分的简单应用3．1平面图形的面积3．2简单几何体的体积课时目标进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用．1．平面图形的面积表示一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则________________________．2．旋转体的体积旋转体可以看作由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积为V＝ʃπ[f(x)]2dx.一、选择题1．将由y＝cosx，x＝0，x＝π，y＝0所围图形的面积写成定积分形式为()A．ʃcosxdxB．ʃ0cosxdx＋|ʃπcosxdx|C．ʃ2sinxdxD．ʃ2|cosx|dx2．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为()A.B.C.ln2D．2ln23．由曲线y＝x3、直线x＝－2、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A．ʃx3dxB．|ʃx3dx|C．ʃ|x3|dxD．ʃx3dx＋ʃx3dx4．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A．ʃ(x2－1)dxB．|ʃ(x2－1)dx|C．ʃ|x2－1|dxD．ʃ(x2－1)dx＋ʃ(x2－1)dx5．由y＝x2，x＝0和y＝1所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积可以表示为()A．V＝πʃ()2dy＝B．V＝πʃ[12－(x2)2]dx＝πC．V＝πʃ(x2)2dy＝D．V＝πʃ(12－x2)dx＝π6．由y＝e－x，x＝0，x＝1围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.(1－e－2)B.C.(1－e)D.e－2二、填空题7．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．8．直线x＝k平分由y＝x2，y＝0，x＝1所围图形的面积，则k的值为________．9．曲线y＝，直线x＝2，x＝3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积是________．三、解答题10．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．11.求由曲线y＝4x－x2和直线y＝x所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积．能力提升12．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.13．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．对求体积的有关问题，要结合函数的形式写清对应的定积分，然后求出所对应的体积．答案知识梳理1．S＝ʃf(x)dx－ʃg(x)dx作业设计1．B[定积分可正，可负，但不论图形在x轴上方还是在x轴下方面积都是正数，故选B.]2．D[所求面积ʃ2dx＝lnx|2＝ln2－ln＝2ln2.]3．C4.C5.B6．A[V＝πʃ(e－x)2dx＝πʃe－2xdx＝－e－2x|＝(1－e－2)．]7.解析由，得x＝1或x＝4.所求面积为S＝ʃ(x2＋4－5x)dx＋ʃ(5x－x2－4)dx＝|＋|＝.8.解析作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃx2dx＝ʃx2dx即x3|＝x3|.∴k3＝，k＝.9.π解析V＝ʃπ·()2dx＝|＝π.10.解由解得x＝0或x＝3.∴S＝ʃ(x＋3)dx－ʃ(x2－2x＋3)dx＝ʃ[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝ʃ(－x2＋3x)dx＝|＝.∴所围成的图形的面积为.11．解由y＝4x－x2得顶点P(2,4)，联立方程，得交点Q(3,3)，O(0,0)．如图所示又由上图知V＝π·ʃy2dy＋πʃ(2＋)2dy－πʃ(2－)2dy＝π·y3|＋π|－π|＝π＝π.12．A[由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为ʃ(x2－x3)dx＝|＝－＝.]13．解由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如图所示．故S＝S1＋S2＝ʃ0x2dx＋＝x3|0＋x3|x0－(x0x2－xx)|x0＝＝，解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，所求切线方程为y＝2x－1.
