1.7.1定积分在几何中的应用课时目标进一步理解定积分的概念和性质，能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．1．设由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a0，那么S＝ʃf(x)dx；(2)如果f(x)<0，那么S＝|ʃf(x)dx|＝－ʃf(x)dx；(3)如果a≤x≤c时，f(x)≤0；c0，那么S＝|ʃf(x)dx|＋ʃf(x)dx＝－ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx.2．下面4个图形中阴影的面积用定积分可表示为：(1)________________；(2)________________；(3)________________；(4)________________．一、选择题1．将由y＝cosx，x＝0，x＝π，y＝0所围图形的面积写成定积分形式为()A．ʃcosxdxB．cosxdx＋|cosxdx|C．ʃ2sinxdxD．ʃ2|cosx|dx2．如图，阴影部分面积为()A．ʃ[f(x)－g(x)]dxB．ʃ[g(x)－f(x)]dx＋ʃ[f(x)－g(x)]dxC．ʃ[f(x)－g(x)]dx＋ʃ[g(x)－f(x)]dxD．ʃ[g(x)－f(x)]dx3．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为()A.B.C.ln2D．2ln24．由曲线y＝x3、直线x＝－2、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A．ʃx3dxB．|ʃx3dx|C．ʃ|x3|dxD．ʃx3dx＋ʃx3dx5．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于()A.B.C．1D.题号12345答案二、填空题6．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．7．直线x＝k平分由y＝x2，y＝0，x＝1所围图形的面积，则k的值为________．8．设函数f(x)的原函数F(x)是以T为周期的周期函数，若ʃf(x)dx＝μ，则ʃf(x)dx＝________.三、解答题9．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．10.如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．能力提升11．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.12．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．已知平面图形的面积，可以确定函数的解析式或讨论函数的某些性质．答案知识梳理2．(1)ʃ[f(x)－g(x)]dx(2)ʃ[f(x)－g(x)]dx(3)ʃ[f(y)－g(y)]dy(4)ʃ[f(y)－g(y)]dy作业设计1．B[定积分可正，可负，但不论图形在x轴上方还是在x轴下方面积都是正数，故选B.]2．B3．D[所求面积dx＝lnx|＝ln2－ln＝2ln2.]4．C5．B[由，得x＝0或x＝(c>0)．则围成图形的面积S＝(x2－cx3)dx＝，可求得c＝.]6.解析由，得x＝1或x＝4.所求面积为S＝ʃ(x2＋4－5x)dx＋ʃ(5x－x2－4)dx＝|＋|＝.7.解析作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃx2dx＝ʃx2dx即x3|＝x3|.∴k3＝，k＝.8．－μ解析ʃf(x)dx＝F(x)|＝F(a＋T)－F(T)＝F(a)－F(T)＝－μ.9.解由解得x＝0或x＝3.∴S＝ʃ(x＋3)dx－ʃ(x2－2x＋3)dx＝ʃ[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝ʃ(－x2＋3x)dx＝|＝.∴所围成的图形的面积为.10．解抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝ʃ(x－x2)dx＝＝.又由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝ʃ(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.11．A[由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为ʃ(x2－x3)dx＝|＝－＝.]12．解由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如图所示．故S＝S1＋S2＝x2dx＋＝x3|＋x3|－(x0x2－xx)|＝＝，解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，所求切线方程为y＝2x－1.
