2.1数列的概念与简单表示法(一)课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2…项，，排在第n位的数称为这个数列的第n项．2．数列的一般形式可以写成a1，a2…，，an…，，简记为{an}．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5…，的一个通项公式为()A．an＝nB．an＝n＋1C．an＝n＋2D．an＝2n答案B2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为()A．1,0,1,0B．0,1,0,1C.，0，，0D．2,0,2,0答案A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()A．an＝[1＋(－1)n－1]B．an＝[1－cos(n·180°)]C．an＝sin2(n·90°)D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]答案D解析令n＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的()A．第5项B．第6项C．第7项D．非任何一项答案C解析n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10…，的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝C．an＝D．an＝n2＋1答案C解析令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.6．设an…＝＋＋＋＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A.B.C.＋D.－答案D解析 an…＝＋＋＋＋∴an＋1…＝＋＋＋＋＋，∴an＋1－an＝＋－＝－.二、填空题7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为____________．答案4,7,10,158．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．答案10解析 ＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．答案an＝2n＋1解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9…，，∴an＝2n＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570—年公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15…，，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4…＋＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19…，(2)0.8,0.88,0.888…，(3)…，，－，，－，，(4)，1…，，，(5)0,1,0,1…，解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)．(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)…，，∴an＝(n∈N*)．(3)各项的分母分别为21,22,23,24…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1…项变为－，因此原数列可化为－，，－，，，∴an＝(－1)n·(n∈N*)．(4)…将数列统一为，，，，对于分子3,5,7,9…，，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17…，联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N*)．(5)an＝或an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．12．已知数列；(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解设f(n)＝＝＝.令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.(2)解令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．(3)证明 an＝＝＝1－，又n∈N*，∴0<<1，∴0
