§2.4向量的数量积(一)课时目标1“”．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做________________．当θ＝0°时，a与b________；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作________．2．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为________．(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向上的投影是________，向量b在a方向上的投影是________．3．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积．4．向量数量积的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．一、填空题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影为________．2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________.3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.4．在边长为1的等边三角形ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝________.5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．6．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．7．给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．8．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.9．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为________．10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．二、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§2.4向量的数量积(一)知识梳理1．a与b的夹角同向a⊥b2．(1)|a||b|cosθ(2)0(3)|a|cosθ|b|cosθ3．|b|cosθ4．(1)b·a(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c作业设计1．－1解析a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.2.解析 (3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝.3．2解析|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.4．－解析a·b＝BC·CA＝－CB·CA＝－|CB||CA|cos60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.5．120°解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴cosθ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.6．0解析b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2＝2×4×4×cos120°＋42＝0.7．④解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)...
