3.1.3两个向量的数量积一、基础过关1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则AE·CF等于()A．0B.C．－D．－3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()A.B．97C.D．614．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.二、能力提升6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°7．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是()A．2B.C.D.8．如果e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角为________．9．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角是________．三、解答题10.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．11．在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．12.已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.三、探究与拓展13.如图所示，如果直线AB与平面α交于点B，且与平面α内的经过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等．求证：AB⊥平面α.答案1．A2．D3．C4．C5.6．C7．C8．120°9．60°10．解由题意知|PB|＝，|CD|＝，PB＝PA＋AB，DC＝DA＋AB＋BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA·DA＝PA·AB＝PA·BC＝0，∵AB⊥AD，∴AB·DA＝0，∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，∴PB·DC＝(PA＋AB)·(DA＋AB＋BC)＝AB2＝|AB|2＝1，又∵|PB|＝，|CD|＝，∴cos〈PB，DC〉＝＝＝，∴〈PB，DC〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.11．解∵PC＝PA＋AD＋DC，∴|PC|2＝PC2＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2PA·DC＋2AD·DC＝62＋42＋32＋2|AD||DC|cos120°＝61－12＝49，∴|PC|＝7，即PC＝7.12．证明∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cos∠AOC－|OA||OB|cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC，∴OA⊥BC.13．证明如图所示，在直线BC、BD、BE上取|BC|＝|BD|＝|BE|.∵AB与BC、BD、BE所成的角相等，∴AB·BC＝AB·BD＝AB·BE，∴即∴AB⊥DC，AB⊥DE.又DC∩DE＝D，∴AB⊥平面α.
