3.1.4空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则()A.AB＝(－1,2,1)B.AB＝(1,3,4)C.AB＝(2,1,3)D.AB＝(－2，－1，－3)2．与向量m＝(0,2，－4)共线的向量是()A．(2,0，－4)B．(3,6，－12)C．(1,1，－2)D.3．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A.B.C.D.4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于()A．4B．－4C.D．－66．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C．4D．8二、能力提升7．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝__________.8．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝3，则AC与BD1夹角的余弦值是________．10．单位向量a＝(x，y,0)与向量c＝(1,1,1)的夹角为，求：x＋y与xy的值．11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以向量AB，AC为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量AB，AC垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．12．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，求BE与SC的夹角．三、探究与拓展13．已知a＝(5,3,1)，b＝且a与b的夹角为钝角．求t的取值范围．答案1．C2．D3．C4．C5．B6．A7．(－4,2，－4)8．120°9．－10．解∵a与c的夹角为.∴cos＝＝＝.化简得x＋y＝·.①又|a|2＝x2＋y2＝1，②将②代入①，得x＋y＝，从而(x＋y)2＝，∴xy＝.11．解(1)∵AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，∴cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∴S＝|AB||AC|sin60°＝7.(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥AB⇒－2x－y＋3z＝0，a⊥AC⇒x－3y＋2z＝0，|a|＝⇒x2＋y2＋z2＝3，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．12．解建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB＝，SA＝，可以求得SO＝.则B，A，C，S.由于E为SA的中点，所以E，所以BE＝，SC＝，因为BE·SC＝－1，|BE|＝，|SC|＝，所以cos〈BE，SC〉＝＝－，所以〈BE，SC〉＝120°.13．解由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0且〈a，b〉≠180°.由a·b<0，得3t－<0，∴t<.若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λ，∴，解得t＝－.所以t的范围是∪.
