学高中数学 第二章 2.3.2（二）抛物线的简单几何性质(二)基础过关训练 新人教A版选修1-1VIP免费

2.3.2抛物线的简单几何性质(二)一、基础过关1.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A.x＝1B.x＝－1C.x＝2D.x＝－22.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且|P1F|，|P2F|，|P3F|成等差数列，则有()A.x1＋x2＝x3B.y1＋y2＝y3C.x1＋x3＝2x2D.y1＋y3＝2y23.设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为()A.pB.pC.pD.p4.抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于()A.B.C.D.15.已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A.x2＝2y－1B.x2＝2y－C.x2＝y－D.x2＝2y－26.抛物线x2＝ay(a≠0)的焦点坐标为__________.7.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.二、能力提升8.若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是()A.－1B.－1C.2D.－19.设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝________.10.根据条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x＋y＋2＝0上；(2)抛物线的顶点在原点，焦点是圆x2＋y2－4x＝0的圆心.11.已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上.又知此抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.12.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点.三、探究与拓展13.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点.(1)直线l的斜率为，求证：FA·FB＝0；(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFA与kFB之间的关系并说明理由.答案1.B2.C3.B4.B5.A6.7.8.D9.10.解(1)直线x＋y＋2＝0与x，y轴的交点坐标分别为(－2，0)和(0，－2)，所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)，由－＝－2，得p＝4，所以所求抛物线的方程为y2＝－8x或x2＝－8y.(2)圆x2＋y2－4x＝0的圆心为(2,0)，故抛物线方程的形式为y2＝2px(p>0).由＝2得p＝4，所以所求抛物线方程为y2＝8x.11.解(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，∵A(1，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离.∴1＋＝3，∴p＝4.∴此抛物线的方程为y2＝8x.(2)由，消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A、B，则有，解得k>－1且k≠0.又∵x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去).∴所求k的值为2.12.(1)解由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0).13.(1)证明∵Q，∴直线l的方程为y＝，由.消去x得y2－2py＋p2＝0.解得A，B.而F，故FA＝((1＋)p，(1＋)p)，FB＝((1－)p，(－1)p)，∴FA·FB＝－p2＋p2＝0.(2)解kFA＝－kFB或kFA＋kFB＝0.因直线l与抛物线交于A、B两点，故直线l方程：y＝k(k≠0).由，消去x得ky2－2py＋kp2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝p2.kFA＝，kFB＝，∴kFA＝＝＝＝－kFB.