学高中数学 第二章 2.3.2（一）抛物线的简单几何性质(一)基础过关训练 新人教A版选修1-1VIP免费

2.3.2抛物线的简单几何性质(一)一、基础过关1.设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为()A.－2B.0C.－2或0D.－2或22.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A.y2＝8xB.y2＝－8xC.y2＝8x或y2＝－8xD.x2＝8y或x2＝－8y3.经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则的值是()A.4B.－4C.p2D.－p24.过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于()A.45°B.90°C.60°D.120°5.等腰Rt△AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△AOB的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p26.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.7.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水位下降1m后，水面宽________m.二、能力提升8.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A.y2＝xB.y2＝3xC.y2＝xD.y2＝9x9.已知△ABC的三个顶点都在y2＝32x上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率是________.10.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.11.线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线.求抛物线的方程.12.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦.求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.答案1.B2.C3.B4.B5.B6.87.28.B9.－410.解如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0.整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2.由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称.由此得∠AOx＝30°，∴y1＝x1.与y＝2px1联立，解得y1＝2p，∴|AB|＝2y1＝4p.11.解画图可知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ky＋m，由消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－2pm，由已知条件知|y1|·|y2|＝2m，从而p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.12.解(1)直线AB的方程是y＝2·，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，抛物线方程为y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0，化简得x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4).设OC＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(1＋4λ，－2＋4λ)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13.证明如图所示.(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程：x＝－.设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，∴x1x2＝·＝＝＝.(2)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.则|CC1|＝·(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝·|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.