初中数学:..第1页共34页..:一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如axbxca200（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中axbxc2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。如：24102xx满足一般形式axbxca200（），2412xx，，分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2.一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如xmm20（）的方程都可以用开平方的方法写成xm，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。（2）配方法通过配方将原方程转化为()xnmm20（）的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。（3）公式法求根公式：方程axbxca200（）的求根公式xbbacabac224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：axbxca200（），确定a、b、c。2）计算式子bac24的值。3）当bac240时，把a、b和bac24的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开初中数学:..第2页共34页..:平方得：22424bbacxaa．也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有实数根．这里24bac叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac确定．设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac则①0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa．②0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa．③0方程20(0)axbxca没有实数根．若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时24bbac是2a的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24bac判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240bac时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa，12cxxa．（隐含的条件：0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x，2x是方程20xpxq的两个根，则12xxp，12xxq．7、韦达定理的逆定理以两个数1x，2x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0xxxxxx．初中数学:..第3页共34页..:一般地，如果有两个数1x，2x满足12bxxa，12cxxa，那么1x，2x必定是20(0)axbxca的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24bac≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0ca时，方程的两根必一正一负．若0ba≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0ca时，方程的两根同正或同负．若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均为...
