直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C4.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则△OAB的重心的横坐标为____________.解析：由题意知抛物线焦点F（1，0）.设过焦点F（1，0）的直线为y=k（x－1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）.代入抛物线方程消去y得k2x2－2（k2+2）x+k2=0. k2≠0，∴x1+x2=，x1x2=1. |AB|====8，∴k2=1.∴△OAB的重心的横坐标为x==2.答案：25.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是____________.解析：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==－=－=－=－.由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0.答案：x+2y－8=0●典例剖析【例1】已知直线l：y=tanα（x+2）交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l方程与椭圆方程联立，消去y，得（1+9tan2α）x2+36tan2α·x+72tan2α－9=0，∴|AB|=|x2－x1|=·=.由|AB|≥2，得tan2α≤，∴－≤tanα≤.∴α的取值范围是［0，）∪［，π）.评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l的方程由tanα给出，所以可以认定α≠，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=时的情况.【例2】已知抛物线y2=－x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点.（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值.剖析：证明OA⊥OB可有两种思路（如下图）：（1）证kOA·kOB=－1；（2）取AB中点M，证|OM|=|AB|.求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：（1）利用S△OAB=|AB|·h（h为O到AB的距离）；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB=|AB|·|y1－y2|.请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y2=－x，y=k（x+1）ky2+y－k=0.设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1·y2=－1. A、B在抛物线y2=－x上，∴y12=－x1，y22=－x2，y12·y22=x1x2． kOA·kOB=·===－1，∴OA⊥OB.（2）解：设直线与x轴交于N，又显然k≠0，∴令y=0，则x=－1，即N（－1，0）. S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB=·1·=. S△OAB=，消去x后，整理得∴=.解得k=±.评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.【例3】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.剖析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=－ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k的范围.解：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=－ky+m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m=0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y0＝＝－2k，x0＝2k2+m. 点M（x0，y0）在直线l上，∴－2k=k（2k2＋m）+3.∴m=－.又 BC与抛物线交于不同...
